Soal Latihan dan Pembahasan Matriks

Soal Latihan dan Pembahasan
Matriks
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、tanpa ada tujuan komersial
1 Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
Matriks
1. Jika úû
ù
êë
é
=
2 3
1 0
A dan I matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I = .......
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
- + =
4 4
0 0
0 1
1 0
2 3
1 0
2
2 3
1 0
2 3
1 0
A2 2A I
2. Diketahui matriks úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
4 3
1 2
A dan I . Tentukan nilai x supaya matriks A – xI
merupakan matriks singular !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
- =
x
x
x
x
A xI
4 3
1 2
0
0
4 3
1 2
Matriks singular syaratnya determinannya = 0 sehingga :
0 (1 )(3 ) 8 0 1 5
4 3
1 2
= Û - - - = Û = - =
-
-
x x x atau x
x
x
3. Tentukan invers matriks úû
ù
êë
é
-
-
=
2 4
2 3
A
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
- - -
- =
1 1
2
2 2
4 3
2.4 ( 2)( 3)
1 2
3
A 1
4. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
1 1
5 4
1 3
2 5
A dan B maka tentukan determinan (AB)- 1 !
Jawab :
1
1.1
( ) 1 1 1
5 4 1
1 1
5 4
6 5 1
1 3
2 5
1 = = = =
= - = Þ úû
ù
êë
é
=
= - = Þ úû
ù
êë
é
=
-
AB A B
AB
B B
A A
5. Tentukan matriks P jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
4 3
2 1
1 2
3 4
P
Jawab :
1
úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
-
-
-
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
=
-
5 4
6 5
4 3
2 1
1 3
2 4
6 4
1
4 3
2 1
1 2
3 4 1
P
6. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
-
=
0 2
1 1
0 1
2 1
A dan B . Tentukan nilai A – 2B !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é -
- úû
ù
êë
é
-
- =
0 5
4 1
0 4
2 2
0 1
2 1
A 2B
7. Diketahui
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
=
3 6
2 4
1 5
4 0 4
2 3 1
A dan B . Tentukan –2AB
Jawab :
úû
ù
êë
é
- -
-
=
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
-
-
úû
ù
êë
é
-
- -
- =
16 88
22 32
3 6
2 4
1 5
8 0 8
4 6 2
2AB
8. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
4 2
5 1
2 3
4 3
,
3 2
2 1
A B dan C . Tentukan AB - C
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
- =
12 13
5 8
4 2
5 1
2 3
4 3
3 2
2 1
AB C
9. Diketahui .
2 3
1 2
1
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
+
=
y
x
dan B
y x y
x y x
A Jika At menyatakan matriks
tranpose dari A maka tentukan x jika At = B
Jawab :
2
3
1
2 3
1 2
1
Þ =
þ ý ü
- =
+ =
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
+
= Þ
x
x y
x y
y
x
x x y
x y y
At B
10. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
b c a ab
a
2 2
5 2 3
2
5 3
. Tentukan a + b + c !
Jawab :
2
14
2 2 4 8
+ + =
= Þ = = Þ = =
a b c
a b a c ab
11. Diketahui .
7
2 3 2 1
2 3
4
úû
ù
êë
é
+
- +
= úû
ù
êë
é
=
a b
c b a
dan B
b c
a
A Jika A = 2Bt maka tentukan c !
Jawab :
3 2.5 14 8
2 4.2 2 5
2 4 2
4 2 2 14
4 6 2
2 3
4
2 1 7
2 3
2
2 3
4
2
= + Û =
= + Û =
= Û =
úû
ù
êë
é
+ +
-
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
+ +
-
= úû
ù
êë
é
= Þ
c c
b b
a a
a b
c b a
b c
a
a b
c b a
b c
a
A Bt
12. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é -
+ úû
ù
êë
é
-
-
4 10
4
4
1 3
2
4
2 y
y x
x
. Tentukan x !
Jawab :
4
2 10
2
4 10
4
4 2
2 4
Þ =
þ ý ü
+ =
- =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
-
x
x y
x y
y
y x
x
13. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
2
1
4
3
2
1
log 2
1 log
log log z
y
x y z
. Tentukan x !
Jawab :
log log log 3 log4 3
log 3
log 2 4
4 4
2
3 1
2
= Þ = Û =
= Û =
= Û =
y z x
y y
z z
x x
14. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë é
-
=
x
dan C
y
B
y
x
A
5 2
8 3
2 4
2
,
3
2 5
. Tentukan nilai x + y yang
memenuhi A+ B = C
Jawab :
3
5
3 2
4 2
2 8
5 2
8 3
5 4
2 3
+ =
Þ = =
þ ý ü
+ =
+ =
úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
+
+ -
+ = Þ
x y
x dan y
y x
x y
y x
x y
A B C
15. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é +
=
1 1
1 0 1 0
,
1
dan C
c d
a
B
b c
a b
A . Jika A + Bt = C2 maka
tentukan d !
Jawab :
1 1 3 2
0 1 2 3
1 2
2 1
1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
0
1 1
2
+ = Þ = - = -
+ - = Þ = + =
= =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
+ -
úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é - -
+ úû
ù
êë
é +
+ =
c d d
a b c c
a dan b
b c d
a a b c
d
a c
b c
a b
A Bt C
16. Diketahui úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é - -
=
14 8
2 24
3 4
1 8
,
4
4 2
B dan C
p
A . Jika AB = C maka
tentukan p !
Jawab :
3 4 14 6
14 8
2 24
3 4 32 4
2 24
14 8
2 24
3 4
1 8
4
4 2
- = Û =
úû ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
- -
- -
úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
-
-
úû
ù
êë
é - -
= Þ
p p
p p
p
AB C
17. Diketahui úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
+ úû
ù
êë
é
-
-
1
2 1
4 3
2 1
3
4 5
3
1
c a
c
b b
d
. Tentukan a !
Jawab :
3 3 1 3 2 3 1 2
3 5 5.1 3 2
3 3 1
5 3 1
3 1
3 3
3 5
+ = - Þ + = - Û =
- - = - Þ = - =
= Û =
úû
ù
êë
é
- -
- +
= úû
ù
êë é
- - +
-
b a a a
b c b
c c
c a
c a
b b
d
4
18. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
2 3
1 4
A dan I memenuhi persamaan A2 = pA + qI maka p – q = …..
Jawab :
4 5 1
9 5
8 2 4
2 3
4
8 17
9 16
0
0
2 3
4
2 3
1 4
2 3
1 4 2
- = - = -
= + Þ =
= Û =
úû
ù
êë
é
+
+
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
= + Þ
p q
p q q
p p
p p q
p q p
q
q
p p
p p
A pA qI
19. Jika a , b dan g sudut-sudut segitiga ABC dan
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é -
úû
ù
êë
é
1 0
sin cos
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos 2
g 1 g
b b
b b
b b
a a
maka tentukan g !
Jawab :
( ) ( )
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é + +
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
+ -
1 0
sin cos
1 0
sin cos
1 0
sin cos
cos sin 0
sin cos cos sin cos cos sin sin
2
1
2
1
2 2
a b a b g g
g g
b b
a b a b a b a b
( )
( )



cos 1 360
120
2
cos 1
(2cos 1)(cos 1) 0
(2cos 1) cos
cos cos
cos 180 cos
cos cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
2
1
2
1
2
1
= - Þ =
= Þ =
- + =
- - =
- =
- =
+ =
g g
g g
g g
g g
g g
g g
a b g
20. Hasil kali matriks (BA)(B + A- 1)B- 1 = .........
Jawab :
BA I A B BA BAA B BA I
BA B A B BA BB A B
= + = + = +
+ = +
- - - -
- - - - -
1 1 1 1
1 1 1 1 1
)( 0
( )( ) ( )( )
21. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
2 2
2 2
2 -
- -
=
x
x x
Jawab :
5
x2 - 2x = 4 + 4 Û (x - 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 atau x = - 2
22. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
=
2 9
1
5 6
1 2
,
3 4
2 1 a
A B dan C . Jika determinan 2A – B + 3C
adalah 10, maka tentukan nilai a !
Jawab :
(3 5).11 21 10 2
10
7 11
3 5 3
2 3
+ + = Û = -
=
+ -
- + =
a a
a
A B C
23. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é +
=
7 4
9
5 3
5 x
dan B
x
x x
A . Jika A = B maka tentukan x !
Jawab :
4 3
(5 )(3 ) 5 36 7 ( 4)( 3) 0
= - =
+ - = + Û + - =
x atau x
x x x x x x
24. Tentukan nilai determinan matriks
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
- -
-
3 4 0
2 0 4
0 2 3
Jawab :
0 24 24 0 0 0 0
3 4
2 0
0 2
3 4 0
2 0 4
0 2 3
= - + - - - =
- -
-
- -
-
25. Diketahui matriks úû ù
êë
é
=
3 4
1 2
A . Jika úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
AB maka tentukan matriks B !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
-
= Þ = - =
2
1
2 3
1 2 1
3 1
4 2
4 6
AB I B A 1
26. Jika matriks úû
ù
êë
é
-
+
=
6 1 5
2 1 3
x
x
A tidak mempunyai invers, maka tentukan x !
6
Jawab :
Syarat matriks tidak mempunyai invers jika A = 0 sehingga :
(2x+1).5-3(6x-1)=0 Û x = 1
27. Jika 1 - = úû
ù
êë
é
= dan A A
c d
a b
A t maka ad – bc = …….
Jawab :
1
0
( )(( ) 1) 0
( ) ( )
1
2
2 2
1
- = ±
- =
- - - =
-
-
-
- =
úû
ù
êë
é
-
-
-
= úû
ù
êë
é
= - Þ
ad bc
ad bc tidak memenuhi
ad bc ad bc
ad bc
bc
ad bc
ad bc ad
c a
d b
b d ad bc
a c
At A
28. Jika 1 25
6
7 - = úû
ù
êë
é
A = dan A A
k
maka tentukan k !
Jawab :
3
35 3 1 34
(35 3 )
35 3
35 3 1
6 7
5
35 3
1
6 5
7 1 2 2
- = Û =
-
-
- =
-
-
-
= - Þ =
k k
k
k
k
k
A A
k k
29. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
-
-
=
2 8
4 2
7
2
7 1
7 1
7
4
C dan B . Jika A = C- 1 maka tentukan AtB
Jawab :
340 144 196
12 34
10 12
12 34
10 12
2 8
4 2
1 4
2 1
1 4
2 1
1 4
1 2 1
7
4
7 1
7 1 7
2
49
1
49
8
1
= = - =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë é =
úû
ù
êë
é
=
úû
ù
êë
é
= úû ù
êë
é
-
= - =
A B
A B
A
A C
t
t
t
7
30. Tentukan invers dari
ú úû
ù
ê êë
é
- +
-
- +
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
a b a b
a b a b
Jawab :
úû
ù
êë
é
+ +
- - +
=
ú úû
ù
ê êë
é
= -
ú úû
ù
ê êë
é
+
=
- -
+
-
+
- -
+
-
+
- -
-
a b a b
a b a b
A a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b 2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2 2
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
4( )
1
4( )
1
1 1 2( )
2 2 2 2
31. Jika ( ) .......
3 0
1 2 3 1 = úû
ù
êë
é
A = maka A-
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
-
=
úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
-
=
-
-
8 1
8
21
2
1
2 3
4
1
4
9
2
1
2 3
2
1
2 3
2
1
2 3
1 3
2
1
2 3
2
1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
( )
1 0
3 1
2 0
A
A
32. Jika invers dari matriks A adalah úû
ù
êë
é
3 1
4 2
maka tentukan matriks A !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
-
= - - =
2
1
3 4
1 2
4 6
( ) 1
2 3
2
1
A A 1 1
33. Jika úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
-
-
24
13
4 6
1 5
y
x
maka tentukan x dan y !
Jawab :
úû ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é -
úû
ù
êë
é
- -
- -
-
= úû
ù
êë
é
2
3
24
13
4 1
6 5
6 20
1
y
x
34. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
4 5
2 3
8 9
6 7
P. maka tentukan matriks P !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
- = úû
ù
êë
é
-
-
- úû
ù
êë
é
=
2 1
3 2
4 2
6 4
2
1
8 6
9 7
54 56
1
4 5
2 3
P
35. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é -
=
c d
a b
A B dan X
11 14
7 3
,
2 3
1 1
. Jika AX = B maka tentukan d !
Jawab :
4
5 4
2 1
11 14
7 3
2 1
3 1
3 2
1
1
= Þ úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é - -
úû
ù
êë
é
+ -
= úû
ù
êë
é
= Þ = -
d
c d
a b
AX B X A B
8

Read More

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 String Matching
String matching adalah proses pencarian semua kemunculan query yang selanjutnya
disebut pattern ke dalam string yang lebih panjang (teks). Pattern dilambangkan
dengan x=x[0..m-1] dan panjangnya adalah m. Teks dilambangkan dengan
y=y[0..n-1] dan panjangnya adalah n. String matching dibagi menjadi dua, yaitu exact
matching dan heuristic matching (Sarno. Dkk, 2012).
Contoh sebagai berikut.
String = COM211
n=6
x=x[0..5]
String = Logika
n=6
x=x[0..5]
2.1.1 Exact Matching
Exact matching digunakan untuk menemukan pattern yang berasal dari satu teks.
Contoh pencarian exact matching adalah pencarian kata ”pelajar” dalam kalimat
”saya seorang pelajar” atau saya seorang siswa. Sistem akan memberikan hasil
bahwa kalimat pertama mengandung kata ”pelajar” sedangkan kalimat kedua tidak.
6
Algoritma exact matching diklasifikasikan menjadi tiga bagian menurut arah pencarian
sebagai berikut.
1. Arah pembacaan dari kiri ke kanan.
2. Arah pembacaan dari kanan ke kiri.
3. Arah pembacaan yang ditentukan pemrogram.
2.1.2 Heuristic Matching
Heuristic matching adalah teknik yang digunakan untuk menghubungkan dua data
terpisah ketika exact matching tidak mampu mengatasi karena ada pembatasan
pada data yang tersedia. Heuristic matching dapat dilakukan dengan perhitungan
distance antara pattern dengan teks. Euzenat(2007) menuliskan contoh dengan
perhitungan distance berdasarkan String Based Tecnique yaitu string equality yang
menggunakan algoritma n-gram similarity. N-gram similarity sering digunakan
untuk membandingkan beberapa string. Algoritma ini menghitung sejumlah
n-gram bersama seperti serangkaian n karakter di antara string.
Gambar 2.1: N-Gram Similarity.
7
2.2 Algoritma Brute Force
Algoritma brute force adalah algoritma untuk mencocokkan pattern dengan semua
teks antara 0 dan n-m untuk menemukan keberadaan pattern dalam teks. Secara
rinci, langkah-langkah yang dilakukan algoritma ini saat mencocokkan string.
1. Algoritma brute force mulai mencocokkan pattern dari awal teks.
2. Dari kiri ke kanan, algoritma ini mencocokkan karakter per karakter pattern
dengan karakter pada teks yang bersesuaian, sampai salah satu kondisi berikut
terpenuhi.
(a) Karakter di pattern dan di teks yang dibandingkan tidak cocok.
(b) Semua karakter di pattern cocok. Kemudian algoritma memberitahukan
penemuan posisi ini.
3. Algoritma kemudian terus menggeser pattern sebesar satu ke kanan, dan mengulangi
langkah ke-2 sampai pattern berada di ujung teks.
Gambar 2.2: Algoritma Brute Force.
8
2.3 Pengertian Sistem Informasi
Sistem informasi merupakan kumpulan dari perangkat keras dan perangkat lunak
komputer serta perangkat manusia yang mengolah data menggunakan perangkat
keras dan lunak tersebut. Data memiliki peranan dalam sistem informasi. Data
yang dimasukkan adalah sebuah sistem informasi dapat berupa formulir-formulir,
prosedur dan bentuk data lainnya. Komponen-komponen sistem informasi terdiri
dari sebagai berikut.
1. Input
Input adalah semua data yang dimasukkan ke dalam sebuah sistem informasi.
2. Proses
Proses merupakan kumpulan prosedur untuk memanipulasi input yang kemudian
disimpan dalam bagian basis data dan seterusnya diolah menjadi suatu
output yang digunakan oleh penerima.
3. Output
Output merupakan semua keluaran atau hasil dari model yang sudah diolah
menjadi suatu informasi yang berguna dan dapat dipakai penerima. Komponen
ini berhubungan langsung dengan pemakai sistem informasi dan merupakan
tujuan akhir dari pembuatan sistem informasi.
4. Basis data
Basis data merupakan kumpulan data yang saling berhubungan satu sama
lain yang disimpan dalam perangkat keras komputer dan diolah menggunakan
perangkat lunak. Basis data merupakan kumpulan file yang memiliki
keterkaitan antara satu file dengan file yang lain sehingga membentuk satu
bangunan data.
5. Teknologi
Teknologi merupakan bagian yang berfungsi untuk memasukkan input, men9
golah input dan menghasilkan keluaran. Teknologi ini meliputi hardware,
software, brainware.
6. Kendali
Kendali merupakan semua tindakan yang diambil untuk menjaga sistem
informasi tersebut agar berjalan dengan lancar dan tidak mengalami gangguan
(Kristanto, 2003).
2.4 PHP (Hypertext Preprocessor)
2.4.1 Pengertian PHP (Hypertext Preprocessor)
PHP (Hypertext Preprocessor) merupakan bahasa pemrograman yang berbentuk
scripting, sistem kerja dari program ini adalah sebagai interpreter bukan sebagai
compiler (Nugroho, 2004). Menurut Kadir bahwa ”Interpreter adalah perintah
menerjemahkan statement program. Sedangkan bahasa compiler adalah semua perintah
di dalam program diterjemahkan terlebih dahulu, baru kemudian semuanya
dijalankan” (Kadir, 2005).
Bahasa pemrograman merupakan sebuah paket bahasa yang digunakan untuk membuat
sebuah bahasa turunan. Bahasa turunan dapat berupa bahasa pemrograman,
atau dapat juga berupa hasil akhir yang disebut dengan istilah aplikasi pemrograman.
Menurut cara prosesnya, bahasa pemrograman dapat dikategorikan
menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
1. Bahasa Compiler
Bahasa compiler adalah bahasa yang mengubah script program ke dalam
source code, selanjutnya dari bentuk source code diubah menjadi bentuk object
code, bentuk dari kode objek menghasilkan file yang lebih kecil dari file
mentah sebelumnya. Selanjutnya bentuk kode objek berubah menjadi sebuah
10
program yang siap dijalankan tanpa adanya program bantu pembuatnya, sehingga
hasil dari pemrograman yang berbentuk kompiler membuat sebuah
program yang berstatus sebagai program eksekusi. Contoh dari program compiler
adalah Pascal, Visual C, Lazarus.
2. Bahasa Interpreter
Bahasa interpreter, script mentah tidak harus diubah ke dalam bentuk source
code. Sehingga pada saat menjalankan bentuk program, kode dasar secara
langsung dijalankan tanpa harus melalui proses pengubahan ke dalam bentuk
source code.
Contoh penggunaan perintah PHP sebagai berikut.
<?php
$teks=$_POST[’isiteks’];
$teks="\n".$teks." ";
$rows= explode("\n", $teks);
array_shift($rows);
Dalam pemrograman PHP kelompok informasi yang ditampilkan dalam halaman
browser memerlukan perintah untuk menampilkan informasi tersebut. sebagai
contoh pada pemrograman Pascal menggunakan perintah while dan writeln untuk
menampilkan informasi. Fungsi cout dalam bahasa C dan C++, sedangkan pada
PHP menggunakan perintah echo dan print.
Kelebihan yang dimiliki oleh pemrograman PHP adalah dapat disisipkan ke dalam
tag-tag HTML. Namun, dengan kelebihan yang dimiliki, PHP juga mampu berdiri
sendiri tanpa berada di sela-sela program lain. Contoh program PHP yang berada
pada tag HTML sebagai berikut.
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
11
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
2.4.2 Tipe Data
Tipe data adalah suatu bentuk data yang dideklarasikan pada saat membuat tabel
atau program. Tipe data memberi pengaruh pada setiap data yang dimasukkan ke
dalam sebuah tabel. Data yang dimasukkan harus sesuai dengan tipe data yang
dideklarasikan (Nugroho, 2004).
Lima tipe data yang terdapat pada pemrograman PHP.
1. Integer
Integer adalah tipe data yang berisikan data semua bilangan yang besarnya
range sama dengan data pada bahasa C, yaitu antara -2,147,483,64 sampai
+2,147,483,64 pada platform 32-bit.
Contoh sebagai berikut.
$angka=234;
2. Floating Point
Floating Point adalah tipe data yang berguna untuk menyimpan bilangan desimal
atau pecahan. Sebagai contoh (0.1),(1.3),(1.7),(1.8),(9.7),(2.4).
Contoh Penulisannya adalah sebagai berikut.
<?php
$a = 1.234;
$b = 1.2e3;
$c = 2E-6;
$d = 1.2E8;
?>
3. Character
Character merupakan bentuk yang sama dengan tipe data varchar yaitu
12
mampu menangani data sampai dengan 225 karakter. Tetapi dari ke dua tipe
data tersebut memiliki perbedaan yang sangat signifikan yaitu dalam hal media
penyimpanan data. Sebagai contoh adalah apabila membuat kolom varchar(
25) maka data yang dimasukkan paling banyak adalah 25 digit tetapi
dapat juga memasukkan data kurang dari 25 digit. Apabila dalam penyimpanan
data dalam bentuk char(4) maka harus dimasukkan data paling banyak
4 karakter, jadi apabila memasukkan sebanyak 2 karakter maka, data tersebut
tetap dibaca 4 karakter, sehingga keadaan tersebut memboroskan ketersediaan
memori komputer. (Nugroho, 2004)
Contoh penulisan tipe data string adalah sebagai berikut.
$teks=$_POST[’isiteks’];
$teks="\n".$teks." ";
$rows= explode("\n", $teks);
4. Array
Larik atau array adalah penampung sejumlah data bertipe sama dan menggunakan
satu identifier. Array adalah penampung data yang disebut dengan
variabel. Perbedaan antara array dan variabel adalah terletak pada kapasitas
penampungannya. Variabel bertipe int hanya dapat menampung sebuah
bilangan bulat dan variabel bertipe char hanya bisa menampung sebuah
karakter ASCII. Array bertipe int mampu menampung sejumlah bilangan
bulat, sedangkan array bertipe char mampu menampung sejumlah karakter
ASCII (Ngoen, 2009).
Tipe data array atau larik merupakan tipe compound primitif, dan terdapat
juga pada bahasa-bahasa pemrograman lain. Tipe data array digunakan untuk
menyimpan banyak data dalam satu variabel. Array dibagi menjadi dua yaitu
numeric array dan assosiative array.
13
1. Numeric Array
Pemanggilan data pada numeric array berdasarkan dengan angka, angka
dimulai dari 0 sampai dengan jumlah data yang dimasukkan. Contoh
Numeric Array sebagai berikut.
#$no[$baris]=$gets[0];
$kopel[$baris]=$gets[0];
$matkul[$baris]=$gets[1];
$sks[$baris]=$gets[2];
$nilai[$baris]=$gets[3];
$pengambilan[$baris]=$gets[4];
$semester[$baris]=$gets[5];
2. Assosiative Array
Pemanggilan data array tersebut menggunakan string yang ditentukan
oleh User, dengan kata lain pemanggilan menggunakan angka diganti
menjadi string yang diinginkan. Contoh penggunaan assosiative array
adalah sebagai berikut.
$kopel[$baris]=str_replace(" ","",$kopel[$baris]);
$nilai[$baris]=str_replace(" ","",$nilai[$baris]);
5. Object
Tipe data object adalah tipe data yang dapat berupa bilangan, variabel ataupun
fungsi. Dengan dibuat data object ini dapat membantu programmer untuk
membuat sebuah program. Data ini dapat disertakan ke dalam program, sehingga
meringkas beberapa fungsi dan dapat memperkecil ukuran file. Semakin
kecil ukuran file semakin singkat waktu yang dibutuhkan untuk mengakses
file tersebut.
14
Contoh penulisan data object adalah sebagai berikut.
<?php
function brute_force(&$kopel_m,&$kopel_db,&$stat){
if(strlen($kopel_m)!=strlen($kopel_db)){
return $stat;
}else{
for($i=0;$i<strlen($kopel_db);$i++){
if(substr($kopel_m,$i,1)==substr($kopel_db,$i,1)){$stat=true;
}else{
$stat=false;
break;
return $stat;
}
}
return $stat;
}
}
Semua variabel dalam bahasa PHP diawali dengan tanda dolar tanpa mempedulikan
jenis nilai yang ditampungnya, baik karakter, integer, string, maupun bilangan
floating point dan array. Semuanya ditulis dalam bentuk yang mirip dan secara
otomatis PHP selalu mengingat tipe data yang disimpan. Secara umum variabel
dalam PHP ada tiga macam, yaitu script, variabel yang dikirim dari HTML, dan
variabel bawaan lingkungan PHP.
15
2.5 Xampp
XAMMP merupakan suatu paketsoftware yang terdiri dari Apache, MySQL, dan
PHP. Apache adalah sebuah aplikasi yang memungkinkan suatu komputer menjadi
web server. MySQL adalah DBMS (Database Management System), yaitu
suatu sistem yang berfungsi untuk mengolah data dalam database. Sedangkan PHP
adalah bahasa pemrograman server side coding yang sering digunakan untuk menciptakan
halaman web. Penggunaan paket software ini memudahkan penulis dalam
pembangunan sistem terutama dalam pengolahan database (Kadir, 2005).
2.6 MySQL
MySQL merupakan database yang kuat dan stabil, digunakan sebagai media penyimpanan
data. MySQL juga merupakan sebuah database server yang mampu
mengelola database. Database sever yang memiliki kemampuan mengolah data
dengan baik, diantaranya adalah Oracle dan PostgreSQL (Nugroho, 2004).
Dalam penggunaan MySQL dipadukan dengan bahasa pemrograman PHP, hal ini
dikarenakan penggunaan keduanya memiliki kehandalan dalam menangani permintaan
data. Kemampuan yang dimiliki oleh MySQL adalah mampu mendukung
Relational Database Management System (RDMS) sehingga bisa menangani data
sebuah perusahaan yang berukuran besar.
MySQL adalah salah satu jenis database server yang sangat terkenal. MySQL menggunakan
bahasa SQL untuk mengakses basis datanya. Untuk melakukan administrasi
secara lebih mudah terhadap MySQL, dapat menggunakan software tertentu,
diantaranya adalah PHPMyAdmin dan MySQL Yog.
16
2.6.1 Kelebihan MySQL
Sebagai database yang memiliki konsep database yang modern, MySQL memiliki
beberapa kelebihan menurut Nugroho (2004).
1. Portabilitas. MySQL dapat berjalan stabil pada berbagai sistem operasi
seperti Windows, Linux, FreeBSD, Mac Os X Server, Solaris, Amiga, dan
sebagainya.
2. Open Source. MySQL didistribusikan secara open source, di bawah lisensi
GPL sehingga dapat digunakan secara cuma-cuma.
3. Multiuser. MySQL dapat digunakan oleh beberapa user dalam waktu yang
bersamaan tanpa mengalami masalah atau konflik.
4. Performance Tuning. MySQL memiliki kecepatan yang menakjubkan dalam
menangani query sederhana, dengan kata lain dapat memproses lebih banyak
SQL per satuan waktu.
5. Jenis Kolom. MySQL memiliki tipe kolom yang sangat kompleks, seperti
signed / unsigned integer, float, double, char, text, date, atau timestamp.
6. Perintah dan Fungsi. MySQL memiliki operator dan fungsi secara penuh
yang mendukung perintah Select dan Where dalam perintah (query).
7. Keamanan. MySQL memiliki beberapa lapisan sekuritas seperti level subnetmask,
nama host, dan izin akses user dengan sistem perizinan yang mendetail
serta sandi terenkripsi.
8. Skalabilitas dan Pembatasan. MySQL mampu menangani basis data dalam
skala besar, dengan jumlah rekaman (records) lebih dari 50 juta dan 60 ribu
tabel serta 5 milyar baris. Selain itu batas indeks yang dapat ditampung mencapai
32 indeks pada tiap tabelnya.
17
9. Konektivitas. MySQL dapat melakukan koneksi dengan klien menggunakan
protokol TCP/IP, Unix socket (UNIX), atau Named Pipes (NT).
10. Lokalisasi. MySQL dapat mendeteksi pesan kesalahan pada klien dengan
menggunakan lebih dari dua puluh bahasa. Meski pun demikian, bahasa
Indonesia belum termasuk di dalamnya.
11. Antar Muka. MySQL memiliki interface (antar muka) terhadap berbagai
aplikasi dan bahasa pemrograman dengan menggunakan fungsi API (Application
Programming Interface).
12. Klien dan Peralatan. MySQL dilengkapi dengan berbagai tools yang dapat
digunakan untuk administrasi basis data, dan pada setiap peralatan yang ada
disertakan petunjuk online.
13. Struktur Tabel. MySQL memiliki struktur tabel yang lebih fleksibel dalam
menangani ALTER TABLE, dibandingkan basis data lainnya semacam PostgreSQL
ataupun Oracle.
2.7 Perintah SQL Yang Digunakan
Perintah-perintah SQL yang digunakan dalam pengembangan sistem sebagai
berikut.
1. Menampilkan database.
show database;
2. Membuat database.
create database databasename;
3. Menghapus database.
drop database databasename;
18
4. Melihat isi database.
show tables;
5. Memilih database.
use databasename;
6. Membuat tabel baru.
create table tablename;
7. Melihat struktur tabel.
describe tablename;
8. Memasukkan data kedalam tabel.
insert into tablename;
2.8 Rational Unified Process
Rational Unified Process (RUP) merupakan proses rekayasa perangkat lunak yang
menggunakan pendekatan disiplin untuk menetapkan tugas dan tanggung jawab
dalam pengembangan sistem (Manalil, 2010). RUP diciptakan, dikembangkan dan
dikelola oleh Rational Software sekarang IBM. Tujuan dari RUP adalah menghasilkan
perangkat lunak berkualitas tinggi yang yang memenuhi kebutuhan pengguna
dan dapat diprediksi penjadwalan dan biaya pengembangannya (Kruchten,
2003).
19
Gambar 2.3: Arsitektur Rational Unified Process (Manalil, 2010)
Aktifitas dalam pengembangan perangkat lunak menggunakan RUP terfokus pada
pengembangan model dengan menggunakan Unified Model Language (UML),
karena menggunakan konsep berorientasi objek atau object oriented. Gambar 2.3
dapat dilihat bahwa RUP memili dua dimensi yaitu:
1. Dimensi pertama, menggambarkan aspek dinamis dalam sebuah pengembangan
perangkat lunak, yang dijabarkan dalam beberapa fase yang memiliki
major milestone atau tonggak utama sebagai tanda berakhirnya fase tersebut.
Setiap fase dapat terdiri dari satu atau lebih pengulangan atau iterasi. Dimensi
horizontal ini terdiri atas Inception, Elaboration, Construction dan Transition.
2. Dimensi kedua, merupakan dimensi vertikal yang mewakili aspek-aspek
statis dari sebuah pengembangan perangkat lunak terdiri dari empat elemen
penting, yakni siapa yang melakukan, apa, bagaimana dan kapan. Dimensi ini
terdiri atas Business Modeling, Requirement, Analysis and Design, Implementation,
Test, Deployment, Configuration dan Change Management, Project
Management, Environment.
20
2.9 Pengujian Perangkat Lunak
Pengujian perangkat lunak merupakan serangkaian kegiatan yang bertujuan untuk
menemukan kesalahan dalam sebuah sistem, serta bertujuan untuk memastikan
apakah sistem telah bekerja sesuai dengan spesifikasi. Pengujian perangkat lunak
memiliki dua tujuan utama, yaitu menemukan bug atau kesalahan dan memastikan
sistem telah bekerja sesuai yang diinginkan (Ehmer, 2011).
Masalah yang dihadapi dalam pengujian perangkat lunak yaitu waktu yang dibutuhkan
dalam mengumpulkan data, ketidakpuasan user terhadap software yang
dibutuhkan, kualitas software yang buruk, dan sulit dalam pengelolaan software.
Pengujian sistem dan perangkat lunak memiliki aturan yang berfungsi sebagai
sasaran pengujian, diantaranya sebagai berikut.
1. Pengujian adalah proses eksekusi suatu program dengan maksud menemukan
kesalahan.
2. Pada testcase harus memiliki probabilitas tinggi, untuk menemukan kesalahan
yang belum ditemukan sebelumnya.
2.9.1 Pengujian Blackbox
Blackbox testing merupakan pengujian yang memperhatikan atau memfokuskan
kepada faktor fungsionalitas dan spesifikasi perangkat lunak. Blacbox testing tidak
membutuhkan pengetahuan mengenai, alur internal, struktur atau implementasi dari
software under test (SUT). Tidak seperti whitebox testing yang dilakukan pada awal
proses pengujian, blackbox testing dilakukan dibeberapa tahapan berikutnya.
Ujicoba blackbox memeriksa beberapa aspek sistem, tetapi memeriksa sedikit mengenai
struktur logikal internal software. Teknik pengujian (blackbox) berfokus
pada domain informasi dari perangkat lunak, dengan melakukan test case dengan
21
mempartisi domain input dari suatu program dengan cara yang memberikan cakupan
pengujian yang mendalam.
Empat keuntungan yang diperoleh dari jenis pengujian blacbox sebagai berikut.
1. Penguji tidak harus menguasai pemrograman.
2. Kesalahan dari perangkat lunak ataupun bug sering kali ditemukan oleh
kelompok penguji yang berasal dari pengguna.
3. Hasil dari blackbox testing dapat memperjelas kejanggalan yang mungkin
timbul dari eksekusi dari pengguna.
4. Proses testing lebih cepat dibandingkan dari pengujian whitebox.

Read More

Struktur dan Fungsi Sel

Struktur dan Fungsi Sel
1. Pengertian Sel:
Sel  kata latin cella. Berarti ruangan kecil, yang ditemukan oleh Robert Hooke,
pengamatan terhadap sayatan gabus (terdapat ruangan-ruangan kecil yang
menyusun gabus tsb).
Sel merupakan suatu ruangan kecil yang bibatasi oleh membran, yang
didalamnya terdapat cairan (protoplasma).
Protoplasma terdiri dari plasma sel (sitoplasma) dan inti sel (nukleus). Di
dalam inti sel terdapat plasma inti atau nukleoplasma.
Sel merupakan satuan terkecil makhluk hidup yang dapat melaksanakan
kehidupan (tidak dapat dibagi-bagi lagi).  merupakan unit terkecil penyusun
makhluk hidup (dilihat secara struktural).
 Secara fungsional, sel berfungsi untuk menjalankan fungsi kehidupan
(menyelenggarakan kehidupan jika sel-sel penyusunnya berfungsi). 
kemudian membentuk organisme.
Sel berkembang biak dengan cara membelah diri (secara mitosis).
Selain itu sel juga 
mengandung materi genetik, yaitu materi penentu sifatsifat
makhluk hidup  maka sifat makhluk hidup dapat diwariskan kepada
keturunannya.
2. Sejarah dan Teori Sel
Tokoh-tokoh penemu teori sel :
1. Robert Hooke (1635 – 1703)
Orang yang pertama menyebutkan istilah sel yaitu cellulae=ruangan kecil
yang kosong danmengamati sayatan gabus tutuip botol (Quercus suber),
merupakan sel mati yang tidak memilki isi sel.
2. Antonie Van Leeuwenhoek (1723)
Seroang ahli asah lensa dari Belanda, membuat mikroskop sederhana ,
Memeriksa cairan setetes air kolam  microscopic “animalcules” (hewan
kecil)  merupakan:sel bakteri dan orang yang pertama kali melukiskan
bentuk-bentuk bakteri
3. Robert Brown (1833)
Ilmuwan Skotlandia yang pertma kali menemukan inti sel pada sayatan sel
anggrek Inti sel disebutnya sebagai nukleus.Nukleus ini merupakan
struktur sel yang sangat penting bagai kehidupan
4. Felix Durjadin (1835)
Tokoh berkebangsaan Perancis yang pertama kali menemukan cairan sel
yang hidup (sarkode) yang merupakan bagian penting dari sel
Menururtnya bagian terpenting dari sel adalah isi sel yang berupa cairan
hidup yang berada dalam suatu lumen
5. Johanes Purkinje
Merupakan ilmuwan yang menyatakan bahawa isi sel adalah protoplasma.
Protoplasma merupakan bahan penting pada sel yang melangsungkan
kehidupan
2
TEORI SEL Ada beberapa teori tentang sel diantaranya:
1. Sel merupakan kesatuan struktural dari makhluk hidup, semua makhluk hiudp terususn atas sel. Tokoh pencetus teori ini adalah:
- M. Schleiden (1804-1881) : sel tumbuhan
- Theodore Schwann (1810 -1882) : sel hewan
2. Sel merupakan kesatuan fungsional makhluk hiudp
- Dikemukakan oleh Max Schulze tahun 1861
- Sel mengatur fungsi-fungsi pda makhluk hidup
3. Sel adalah kesatuan pertumbuhanm dari makhluk hiudp
- dikemukakan oleh Rudolf Virchow (1858)
- dia menyatakan bahwa makhluk hiudp berasal dari pertumbuhan sel sebelumnya “omne cellulae a cellulae”
4. Sel merupakan kesatuan herediatas (sifat menurun) makhluk hidup
- dikemukakan oleh biarawan Austria Gregor Mendel (1822-1884)
- sel mengandung sifat keturunan (genetik) atau hereditas yang diwariskan pada keturunanya.
3. Struktur sel prokariotik (tdk ada membran inti):
 Mempunyai membran plasma, nukleoid (berupa DNA & RNA), dan sitoplasma yang mengandung ribosom.
 Tidak memiliki endomembran (membran dalam inti sel): tidak memiliki mitokondria dan kloroplas, tetapi punya struktur yang berfungsi sama yaitu mesosom dan kromatofor.
Contoh: bakteri dan ganggang biru. Bagian-bagian dari sel prokariotik (Escherichia coli):
a. Dinding sel:
 struktur: tersusun atas: - polisakarida;
- lemak;
- protein.
 fungsi: - sebagai pelindung;
- pemberi bentuk tetap;
- terdapat pori-pori sebagai jalan keluar
masuknya molekul-molekul.
b. Membran plasma:
 struktur: tersusun atas molekul lemak dan protein.  fungsi: - sebagai pelindung molekuler sel thdp lingkungan sekitar;  mengatur lalu intas molekul dan ion2 dari dan kedalam tubuh.
c. Sitoplasma:
 struktur: tersusun atas air, protein, lemak, mineral, dan enzim2.  fungsi: - Enzim2, digunkan untuk mencerna makanan ekstraseluler dan melakukan metabolisme sel.
d. Mesosom:
 struktur: terdapat pada membran plasma yang melekuk ke dalam membentuk organel sel  mesosom.  fungsi: - Sebagai penghasil energi; - Terdapat enzim2 pernafasan yang berperan dalam reaksi2 oksidasi untuk menghasilkan energi.
3
e. Ribosom:  tempat berlangsungnya sintesis protein.
f. DNA (Asam deoksiribonukleat)  deoxyribonucleic acid.
 strukur: merupakan persenyawaan atas gula deoksiribosa, fosfat dan basa2 Nitrogen.  fungsi: - sebagai pembawa informasi genetik  merupakan sifat2 yang akan diwariskan pada keturunannya.
g. RNA (Asam ribonukleat)  ribonucleic acid.
 struktur: merupakan hasil transkripsi (hasil cetakan, hasil kopian) DNA.  fungsi: - membawa kode2 genetik sesuai dengan pesanan DNA.
4. Struktur Sel Eukariotik (memiliki membran inti):
 Memiliki organel-organel bermembran seperti retikulum endoplasma, kompleks golgi, mikondria, dan lisosom. Bagian-bagian dari sel eukariotik:
a. Membran plasma:
 Tersusun dari: molekul lemak (2 lapis; terdapat di bagian tengah membran) dan protein (luar: protein perifer (protein tepi)  menyusun tepi luar & dalam membran; selain itu ada protein yang menembus ke dalam 2 lapisan lemak (disebut protein integral).  Fungsinya: sangat penting untuk menjaga kehidupan sel.
- Melindungi isi sel (mempertahankan isi sel);
- Mengatur keluar masuknya molekul-molekul;
(bersifat semipermeabel / selektif permeabel; berarti hanya zat2 tertentu yang dapat melewati membran)
- Sebagai reseptor (penerima) rangsangan dari luar sel (bagian sel yang berfungsi sebagai reseptor adalah glikoprotein); rangsang kimia, mis. hormon, racun, listrik, mekanik.
Gambar membran sel dengan komponen penyusunnya
4
b.Sitoplasma:  plasma sel  Merupakan: cairan yang berada dalam sel selain nukleoplasma (plasma inti). Cairannya disebut sitosol, padatannya berupa organel2. Sitosol tersusun atas: air, protein, asam amino, vitamin, nukleotida, asam lemak, gula, & ion2. (* Sitosol punya nama lain: matriks sitoplasma). Padatan sitoplasma terdiri dari organel2: yaitu: ribosom, mitokondria, & kompleks Golgi.Dan mempunyai sifat fisik berubah-ubah karena mengandung protein. Dapat berupa fase sol (cair) & fase gel (gelatin, padat)  tergantung kondisi sel. Fungsi Sitoplasma: Tempat penyimpanan bahan2 kimia yg penting bagi metabolisme sel (enzim2, ion2, gula, lemak & protein); Terjadi pembongkaran & penyusunan zat2 melalui reaksi2 kimia. Contoh: Pembentukan energi, sintesis asam lemak, asam amino, protein, dan nukleotida. Sitoplasma selalu “mengalir” agar metabolisme berjalan dengan baik.
b. Nukleus  organel terbesar yang berada di dalam sel.
Terletak di tengah sel & berbentuk bulat/oval. Kromosom tersusun atas protein & DNA (berfungsi untuk menyampaikan informasi genetik dan sintesis protein).  RNA berfungsi untuk sintesis protein saja. Nukleus terdiri atas:
- Membran Nukleus,  membran luar & dalam
Membran luar langsung berhubungan dengan RE, dan akhirnya ke membran sel.
- Nukleoplasma,
Disebut juga matriks nukleus (tersusun atas air, protein, ion, enzim, & asam inti)  bersifat gel. Di dalamnya terdapat benang2 kromatin (benang penyerap warna), pada saat proses mitosis maka benang kromatin itu tampak memendek dan disebut kromosom (tersusun atas protein dan DNA). Lalu DNA akan mentranskripsi diri (mengkopi diri) menjadi RNA  dikeluarkan ke sitoplasma.
- Nukleolus.
Disebut juga anak inti, terbentuk pada saat terjadi proses transkripsi (sintesis RNA) di dalam nukleus. Jadi, nukleolus adalah bukan organel tetap, melainkan suatu tanda bahwa sel sedang melakukan transkripsi (karena bila proses transkripsi berhenti, maka nukleolus akan mengecil/menghilang).  Fungsi Nukleus: - pengendali seluruh kegiatan sel; - pengatur pembelahan sel;
5
- pembawa informasi genetik (DNA);  mewariskan sifat2 melalui pembelahan sel.
c. Sentriol:
 Dapat dilihat ketika sel mengadakan pembelahan; pada fase tertentu dalam hidupnya sentriol memiliki silia/flagela dan hanya ditemui pada sel hewan.  Cara pembelahan sel: sentriol terletak tegak lurus antarsesamanya, dekat nukleus; pada pemb. motosis sentriol terbagi menjadi 2, tiap2 bagian menunjukkan kutub sel;  maka terbentuklah benang2 spindel yang menghubungkan kedua kutub & berfungsi “menarik” kromosm menuju kutub masing2.
d. Retikulum Endoplasma:
 Letaknya: memusat pada bagian dalam sitoplasma (endoplasma); maka disebut Retikulum Endoplasma (RE); hanya pada sel eukariotik.
 Macam2 Retikulum Endoplasma:
i. RE kasar;  berhadapan dengan sitoplasma & ditempeli ribosom (maka tampak berbintil2);
ii. RE halus; tidak mengandung ribosom;
 Fungsi RE: - menampung protein dihasilkan oleh ribosom (masuk ke dalam rongga RE)  untuk disalurkan pada kompleks golgi dan berakhir pada sel (RE KASAR); - mensintesis lemak dan kolesterol (RE KASAR & HALUS); - Menetralkan racun (detoksifikasi)  RE dalam sel2 hati. - Transportasi molekul2 dari bag. yang satu ke bag. yang lainnya (RE KASAR & RE HALUS).
e. Ribosom:
 tersusun atas: RNA-ribosom & protein; tdk punya membran; ribosom tidak punya membran.
 Menurut bentuknya: maka ada ribosom terdiri dari unit besar & unit kecil.  Ribosom disintesis oleh nukleolus.
f. Kompleks Golgi:
Kompleks Golgi  pada sel tumbuhan disebut diktiosom. Kompleks Golgi merupakan organel polimorfik, tersusun atas membran berbentuk kantong pipih, berupa pembuluh, gelembung kecil, atau bentukan seperti mangkok. Cara kerja kompleks golgi: RE menampung & menyalurkan protein ke Golgi, Golgi mereaksikan protein itu dengan glioksilat sehingga terbentuk glikoprotein untuk dibawa ke luar sel. (Maka golgi disebut juga sebagai organel sekretori).  Fungsi Golgi:
- menambah glioksilat pada protein;
- sebagai organel sekretori;
6
- mensintesis (membentuk) glikopida;
- membentuk dinding sel tumbuhan;
- membentuk lisosom.
g. Lisosom:
(lyso = pencernaan; soma = tubuh) merupakan membran yg berbentuk kantong kecil yg berisi enzim hidrolitik (hidrolase)  disebut lisozim; yang berfungsi untuk pencernaan intra sel (mencerna zat2 yang masuk ke dalam sel). 1. Pembentukan Lisosom   Enzim Lisosom / protein yg diproduksi oleh ribosom  masuk ke RE  enzim dimasukkan ke dalam membran  dikeluarkan ke sitoplasma  menjadi lisosom;  Selain itu ada yg enzim dimasukkan ke Golgi  dibungkus membran  dilepaskan di dalam sitoplasma. 2. Proses pencernaan oleh lisosom: Contoh: sel menelan benda asing berupa bakteri secara fagositosis  bakteri dimasukkan ke dalam vakuola  didatangi lisosom  membran lisosom & membran vakuola bersinggungan  membran bersatu  enzim dari lisosom masuk ke vakuola  mencerna bakteri. Enzim lisosom tdk aktif mencerna jika membran lisosom pecah, jika membran pecah maka enzim lisosom akan keluar dari membran & mencerna sel itu sendiri.
h. Badan Mikro:
Terdiri atas :
1. Peroksisom (dikandung banyak pada sel2 yang banyak melakukan respirasi; Contoh: Sel hati, ginjal, otot
mengandung enzim katalase, menguraikan hidrogen peroksida  [bersifat racun] (H2O2) menjadi oksigen & air. Dan berperan dalam metabolisme lemak & fotorespirasi.
2. Glioksisom: hanya pada sel tumbuhan; terutama pada jaringan yg mengandung lemak, spt biji2an berlemak,  menghasilkan enzim katalase dan oksidase yg berperan dalam proses metabolisme lemak, mengubah lemak menjadi gula.  Dihasilkan energi yg diperlukan untuk perkecambahan biji.
7
i. Mitokondria:
Penghasil energi (ATP) –The power house --karena berfungsi untuk respirasi. Secara umum mitokondria berbentuk butiran/benang  dan bersifat plastis (mudah berubah). Mitokondria berkembang biak dengan membelah diri dari mitokondria sebelumnya (pembelahan pada bakteri). Memiliki 2 membran: membran luar & dalam  membran luar mirip dengan membran plasma. Pada membran dalam terjadi pelekukan ke arah dalam membentuk krista (membuat permukaan membran semakin luas sehingga proses respirasi menjadi semakin efektif)  terjadi dalam membran dalam mitokondria dan matriks (tersusun atas air, protein, enzim respirasi, garam, DNA & ion2). Reaksi Respirasi yang terjadi :
- reaksi dekarboksilasi oksidatif;
- daur Krebs;
- transfer elektron.
j. Mikortubulus & Mikrofilamen:
Mikrotubulus: pada gelendong sel; berupa benang2 spindel yg menghubungkan 2 kutub sel pada waktu pembelahan (gerakan kromosom dari daerah equator ke kutub masing2 dikendalikan oleh mikrotubulus.) Selain itu berguna pula untuk penyusun sentriol, flagela, & silia.  Secara umum dapat disimpulkan berguna pada pergerakan sel. Mikrofilamen: merupakan benang2 halus, tipis, & memanjang. Mempunyai 2 protein yaitu aktin dan miosin  banyak terdapat pada sel2 otot & membentuk rangka dalam pd sel. Cont: menyebabkan kontraksi pada sel2 otot; tetapi apabila aktin dan miosin saling menjauh maka akan terjadi relaksasi; Amoeba: berperan dalam pembentukan pseudopoda, gerakan sel, gerakan sitoplasma, pembelahan sel yaitu terbelahnya sel menjadi 2 sel anak karena ditarik mikrofilamen yg menghubungkan membran.
8
5. Sel Tumbuhan VS. Sel Hewan Tabel Pembeda Sel Tumbuhan & Sel Hewan:
No.
Bagian sel
Sel Tumbuhan
Sel Hewan
1.
Dinding sel
ada
Tidak ada
2.
Membran plasma
ada
Tidak ada
3.
Organel sel
a. nukleus
ada
Bagian terbesar/Ada
b. retikulum endoplasma
ada
ada
c. ribosom
ada
ada
d. badan mikro
Peroksisom
ada
ada
Glioksisom
ada
Tidak ada
e. kompleks golgi
Ada disebut diktiosom
ada
f. mitokondria
ada
ada
g. lisosom
Tidak ada
ada
h. sentriol
Tidak ada
ada
i. plastisida
ada
Tidak ada
4.
Vakuola
ada
Kecil/ tidak ada
5.1 SEl TUMBUHAN
a. Dinding Sel:
Yaitu bagian terluar sel. Dinding sel yg tersusun atas polisakarida (terdiri atas hemiselulosa & pektin). Dinding sel dibentuk oleh diktiosom. Peran dinding sel sbg turginitas sel/kekakuan sel.Dinding sel membuat bentukny sel tetap.
Noktah sel2 yg bertetangga yg berhubungan melalui
pori.
 Bagian dinding sel yg tidak mengalami penebalan.
Sel2 yg bertetangga, diantara dinding selnya terdapat lamella tengah yg banyak menyandung kalsium & magnesium. Plasmodesmatasitoplasma yg masuk ke sel lain membentuk seperti jaluran. Dinding sel terdiri atas:
9
Primer  tersusun atas selulosa,hemiselulosa,pectin
Selulosa terdiri dari mikrofibril/ serat2 panjang yg berdaya renggang kuat. Sel yg hanya mempunyai dinding sel primer: sel2 muda yg sedang tumbuh, sel parenkima, sel kolenkima Sekunder  tersusun atas selulosa yg lebih banyak daripada primer,
Juga hemiselulosa, lignin. Biasanya dinding sel yg tersusun selulosa mengalami penambahan lignin yg keras & kaku. Contoh: Kumpulan yang mati menjadi sel kayu Misalnya: sel xylem yg ada pada batang : pengerasan pada sel sklerenkim yg membuat sel menjadi batu/ sklereid Misalnya: batok kelapa
b. Plastida:
Yaitu organel yg mengandung pigmen. Macam2 plastisida: Kromoplas
Yaitu plastisida mengandung pigmen merah, jingga / kuning Contohny: pada tomat, apel Leukoplas
Yaitu plastisida yg tidak mengandung warna.
Biasanya ada pada jaringan tumbuhan yg tidak terkena cahaya, sel embrional, empelur batang, bagian tumbuhan di dalam tanah yg berwarna putih. Amiloplas
Yaitu plastisida yg mengandung amilum. Kloroplas
Yaitu plastisida mengandung klorofil.
Terdapat di autotrof yg eukariotik & sel yg berklorofil(ganggang, lumut, tumbuhan paku)
Memiliki membran rangkap:
 membran luar: permukaan rata, fungsi: mengatur keluar masuk zat.
 membran dalam: membungkus cairan kloroplas yg disebut stroma melipat ke arah dalam & membentuk lembaran2 yg disebut tilakoid. Tilakoid yg bertumpuk2, membentuk tumpukan seperti uang logam disebut grana. Pada permukaan dalam tilakoid terdapat kumpulan partikel yg tersusun berderet disebut kuantosom. Fungsi klorofil: menangkap energi cahaya matahari Energi tsb digunakan untuk memecah molekul air yg kemudian direaksikan dengan karbon dioksida menjadi gula & oksigen. Air yg dihasilkan adalah molekul air baru yg terbentuk selama proses fotosintesis.
10
c. Vakuola:
Pada sel tumbuhan bersifat menetap. Biasanya ada pada sel2 parenkima, kolenkima. Tonoplasvakuola yg dibatasi membrane Fungsi: 1. Tempat cadangan makanan Amilum & gula disimpan di vakuola, jka diperlukan dapa digunakan kembali. Contoh: akar ketela pohon(tepung) & di batang tebu(gula). 2. Menyimpan pigmen Dalam vakuola pada sel2 mahkota bunga ada pigmen merah, biru, kuning,dll. Itu sebabnya mahkota bunga berwarna warni. 3. Menyimpan minyak asiri Minyak asiri tergolong minyak eteris. Sampai sekarang, belum diketahui guna minyak ini untuk tumbuhan. Contoh: minyak kayu puith, peppermint,aroma harum pada bunga. 4. Menyimpan sisa metabolisme Sisa metabolisme tidak bisa dikeluarkan tumbuhan, oleh karena itu disimpan di vakuola. Misal:Asam oksalat, alkaloid, getah karet 5.2 Sel Hewan: Ciri khas sel hewan memiliki: Sentrosom  kedua sentriol pada 1 tempat. Saat pembelahan sel, tiap sentriol memisahkan diri menuju kutub berlawanan & memancarkan benang2 gelendong pembelahan yg menjerat kromosom.
6. Transpor Lewat Membran: Fungsi membran sel: pengatur keluar masuknya zat. Efek pengaturan: mendapatkan pH yg sesuai, konsentrasi zat2 terkendali , membung zat2 yg tidak diperlukan, memperoleh masukan zat2. Dua cara transport lewat membran:
1. Transpor pasif / perpindahan molekul tanpa menggunakan energi sel.
Perpindahannya spontan
11
 Difusi/ penyebaran molekul zat dari konsentrasi tinggi ke rendah, tanpa menggunakan energi. Contoh : Setetes parfum akan menyebar ke seluruh ruangan, molekul dari sesendok gula akan menyebar ke seluruh volume air digelas walaupun tanpa diaduk. Sehingga kerapatannya sama. Zat tsb “diangkut” keluar masuk sel tanpa mengeluarkan energi.  Osmosis/ perpindahan molekul dari kerapatan tinggi ke rendah dengan melewatim membrane/ difusi lewat membran, perpindahan zat menuruni gradien kadar
a. Zat yg dapat melewati membran sel
Zat yg larut dalam lemak, tidak bermuatan/netral, molekul2 asam amino, asam lemak, gliserol, gula sederhana, air, elektrolit lemah lebih cepat melewati membrane daripada elektrolit kuat (Na+, K+, Cl-). Sifat membrane sel: selektif permeable terhadap zat yg mudah dilewati.
b. Zat yg tidak dapat melewati membrane sel
Zat gula, protein, zat yg mudah larut dalam pelarut organic. Sifat membran sel: semipermeabel/ selektif permeable.
Lisis/ hancurnya sel karena rusaknya membrane plasma Kreanasi/ Sel keriput karena kekurangan air Plasmolisis/ lepasnya membrane plasma dari dinding sel  Difusi dengan fasilitas/ difusi yg diperlancar karena adanya protein
2. Transportasi Aktif / perpindahan molekul dengna menggunakan energi dari sel tsb, perpindahan terjadi meskipun menentang konsentrasi.
 Pompa Natrium-Kalium;tergolong transport akti f sehingga perjalanan zat dapat melawan gradien kadar. Zat2 yg dapat diangkut secara transport aktif misalnya gula, protein, anzim, dan hormon.  Endositosis & Eksositosis Endositosis/ pemasukan zat ke dalam sel. Contoh: fagositosis (phagein=memakan; cytos=sel) Yaitu proses membran plasma sel membungkus partikel dari lingkungan luar&menangkapnya dalam vakuola makanan, vakuola kemudian menyatu dengan lisosom mencerna partikel tsb. Contoh: sel darah putih & sel ameba yg memakan bakteri. Sel tsb membungkus bakteri & menangkapny dalam vakuola makanan & selanjutnya bakteri akan dicerna oleh lisosom. Pinositosis (pinein=meminum), Yaitu peristiwa sel memakan zat cair, Sel mengelilingi setetes cairan & membentuk gelembung, cairan yg memakan itu dimasukkan ke dalam vakuola. Eksositosis/ pengeluaran zat dari dalam sel2 kelenjar pada saat sekresi.  Fungsi proses Transpor Membran Bagi manusia:- mengatasi masalah dalam pertanian. Misal: menentukan obat2an & dosis pupuk yg aman untuk tanaman.
12
- mengetahui macam zat yg diberikan pada tanaman sebagai nutrient. Tanaman: - mampu memilih zat2 yg dapat masuk ke dalam sel & yg tidak(karena dari membrane plasma yg bersifat semipermeabel). memisahkan larutan(padahal pemisahan zat secara difusi & osmosis lebih murah karena bebas energi, tetapi dibutuhkan waktu yg lama. - paham akan munculnya penyakit silikosis & rematik.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Ilmuwan yang pertama kali melihat adanya sel-sel dengan menggunakan mikroskop adalah . . . A. Robert Hooke D. Robert Brown B. Robert Kooh E. Gregor Mendel C. Louis Pasteur Jawaban : A Pembahasan: tokoh yang pertama kali mengamati sel dengan mikroskop adalah Robert Hooke.Dia mengamati syatan gabus tutup botol berupa ruangan-ruangan kecil yang tidak berisi 2. Teori sel menunjukkan bahwa sel merupakan kesatuan struktural mahluk hidup. Teori tersebut pertama kali disusun oleh . . . A. Edmund B Wilson D. Max Schultz B. Rene Dutrochet E. Rudolf Virchow C. Scheilden dan Schwann Jawaban : C Pembahasan: tokoh yang menyatakan teori sel bahwa sel merupakan kesatuan strukturan dari makhluk hiudp adalah Mathias Schleiden dan Theodore Schwann berkebangsaan Jerman. Masing-masing mengamati sel tumbuhan dan sel hewan. 3. Perhatikan gambar di bawah ini:
Secara berurutan bagian yang ditunjuk P,Q,R,S pada gambar di atas adalah.. A. protein, fosfoipid, glikoprotein dan glikolipid B. fosfolipid, protein, glikoprotein dan glikolipid C. glikoprotein, fosfolipid, glikolipid dan protein D. glikoprotein, protein, glikolipid dan fosfolipid E. glikoprotein, glikolipid, protein dan fosfolipid Jawaban: E
S
13
Pembahasan: struktur yang ditunjuk merupakan penyusun membrane sel makhluk hiudp yang terdiri dari glikoprotein, glikolipid, protein dan fosfolipid 4. Perhatikan gambar dibawah ini:
A B Lar.gula air peristiwa yang akan terjadi pada bejana tersebut bila kran dibuka adalah sebagai berikut, kecuali..
a. air akan bergerak menyebar dari bejana B ke A
b. molekul gula akan bergerak menyebar dari bejana A ke B
c. penyebaran molekul akan terus berlangsung hingga tercapai keseimbangan dinamik
d. molekul gula akan berdifusi dari A ke B
e. air akan berosmosis ke daerah A
Jawaban: E Pembahasan: Jawaban A,B,C dan D benar untuk menggambarkan proses yang ditunjukkan pada gambar, sedangkan option E salah, karena osmosi adalah peristiwa perpindahan air melalui membran semipermeabel 5. Bila sejumlah sel tumbuhan dimasukan dalam larutan garam 2,5% maka akan timbul peristiwa plasmolisis antara membran plasma sel dan dinding sel. Hal ini disebabkan karena…
a. isi sel mengisap cairan dari luar,
b. isi sel keluar dari sel
c. konsentrasi larutan di dalam sel lebih tinggi
d. kosentrasi di luar sel lebih rendah
e. konsentasi didalam sel dan di luar sel sama
Jawaban: B Pembahasan: Peristiwa plasmolisi pada sel tumbuhan terjadi apabila sel berada dalam cairan hipertonis, akan terjadi perpindahan air/isi sel dari dalam sel keluar sel (dari konsentrasi yang encer ke kons.yang pekat), sehingga membran sel akan lepas dari dinding sel tumbuhan 6. Organel yang tidak dijumpai didalam sel hewan adalah..... (1) Badan golgi (2) Dinding sel (3) Lisosom (4) Plastida Pembahasan: Organel adalah perlengkapan sel yang terdapat dalam sitoplasma. Jadi, organel yang dijumpai dalam sel hewan adalah: Badan golgi, dinding sel dan lisosom. Sedangkan yang bukan organel adalah plastida, sehingga tidak terdapat pada sel hewan. Hanya pernyataan 4 yang benar. Jawaban : D Sumber: SPMB 2003 7. Di dalam lisosom terdapat bermacam-macam enzim hidrolisis SEBAB Lisosom berperan dalam pencernaan intrasel Pembahasan: Didalam Lisosom terdapat bermacam-macam enzim hidrolisis. Karena lisosom ini berperan dalam pencernaan intra sel. (Ada hubungan sebab akibat) Jawaban : A Sumber : UMPTN 2001
14
8. Organel berupa saluran halus dalam sitoplasma yang berbatas sistem membran dan erat kaitannya dengan sistem angkutan pada sintesis protein adalah...... a. Ribosom b. Retikulum endoplasma c. Plasmodesmata d. badan golgi e. Lisosom Pembahasan: Sesuai ciri-ciri organel retikulum endoplasma adalah:
- berupa saluran halus
- Dibungkus sistem membran
- Berfungsi untuk mengangkut hasil sintesa protein
Kalau ribosom berbentuk bulat kecil dan berfungsi untuk membuat protein. Plasmodesmata merupakan saluran halus antar sel-sel tumbuhan. Badan golgi berhubungan dengan sekresi sel. Lisosom merupakan organel sel yang bulat dan banyak mengandung enzim-enzim pencernaan. Jawaban : B Sumber: UMPTN 1995 9. Pada siklus kehidupan sel benang kromosom tidak ditemukan pada tahap: a. Profase b. Metafase c. Anafase d. Telofase e. Interfase Pembahasan: Pada waktu interfase belum terbentuk kromosom, masih dalam bentuk kromatin, terjadi replikasi DNA dan akumulasi energi. Jawaban : E Sumber : SIPENMARU 1988 10. Bagian sel yang mengatur keluar masuknya zat dari dan kedalam sel adalah a. Sitoplasma b. Mitokondria c. Inti sel d. Selaput plasma e. Dinding sel Pembahasan: Organel yang berperan yaitu selaput plasma yang tersusun dari protein dan lemak. Jawaban : D Sumber: USM 1987 SOAL-SOAL STRUKTUR DAN FUNGSI SEL 1. Teori sel yang menyatakan bahwa "omnis cellulae cellula" adalah . . . A. Rudolf Virchow D. Max Schultz B. Johanes Furkinye E. Felix Dujardin C. Thomas H.Huxley 2. Bagian-bagian sel tersebut berikut ini terdapat di luar nukleus, kecuali . . . A. kromatin D. ribosom B. badan golgi E. plastida C. kromatid 3. Diantara organel berikut, ditemukan pada sel hewan maupun sel tumbuhan . . . A. plastida dan membaran sel B. dinding sel dan mitokondria
15
C. retikulum endoplasma dan ribosom D. dinding sel dan inti sel E. plastida dan badan Golgi 4. Fungsi utama Ribosom dalam sel adalah . . . A. membentuk butiran yang melekat pada retikulum endoplasma B. mempercepat terjadinya oksidasi C. tempat penggabungan beberapa jenis asam amino D. mengasilkan kode genetika E. membentuk ARN duta 5. Dalam sel terdapat mitokondria yang sering disebut "the power house". Dalam butir-butir kecil ini terjadi : A. pembentukan protein B. pembentukan lemak C. oksidasi zat makanan D. pembentukan vitamin E. penyiapan glikogen 6. Bila kita bernafas tidak sempurna, maka dalam tubuh akan terbentuk zat racun hidrogen feroksida (H2O2). Organel yang dapat menetralisir zar tersebut adalah . . . A. Lisosom D. Mitokondria B. Feroksisom E. Nukleus C. Badan golgi 7. Perhatikan gambar di bawah ini:
Susunan gambar di atas merupakan struktur bersifat dinamis dan mempunyai struktur seperti fluida. Struktur ini terutama disusun oleh senyawa utama yaitu........
a. Protein
b. lemak
c. Fosfolipid
d. karbohodrat
e. lemak dn krabohiodrati
8. Selubung dari suatu inti sel tersusun atas membran-membran yang terdiri dari : A. 2 lapisan protein. B. 4 lapisan protein dengan berbagai lemak. C. 2 lapisan lipid dengan berbagai protein D. 4 lapisan lipid. E. 2 lapisan protein dan asam lemak 9. Filamen yang tersusun dari molekul protein aktin dan myosin disebut….. A. makrofilamen. B. filamen intermedia. C. mikrotubula. D. mikrofilamen E. badan mikro 10. Perhatikan gambar di bawah ini:
x
16
Bagian yang ditunjuk oleh X disebut…dan berfungsi….
A. Protein perifer---reseptor
B. Protein integral---protein carrier
C. Protein ekstrinsik--enzim
D. Glikolipid---antibodi
E. Glikoprotein---reseptor
11. Fungsi dari membran sel adalah sebagai berikut, kecuali…. A. pembungkus sel dan mengatur transpor materi keluar masuk sel B. mempertahankan perbedaan isi sel dengan lingkungan luarnya C. media komunikasi dan hubungan (junction) antar sel D. sebagai resptor terhadap rangsangan luar E. mengatur pergerakan sel
12. Perhatikan gambar di bawah ini ! Ciri khas pada organisme ini tidak ditemukan….
A. ribosom D. flagela B. bahan genetik E. membran sel C. membran inti
13. Perhatikan gambar di bawah ini:
Peristiwa yang terjadi seperti terlihat pada gambar diatas adalah . . . A. Fagositosis D. pinositosis B. Transpor pasif E. difusi terfasilitasi C. osmosis 14. Penyusutan ekor berudu pada saat metamorfosis disebabkan oleh aktivitas…. A. lisosom C. nukleus B. badan Golgi D. peroksisom E. ribosom 15. Perhatikan gambar di bawah ini:
1
5
4
2
3
17
Berdasarkan diagram sel di atas, organel manakah yang terlibat dalam proses pembentukan karbohidrat ? a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 PILIHAN GANDA MAJEMUK
1. Organel yang berperan dalam penguraian H2O2-----H2O + O2 adalah...
1. badan Golgi 2. badan mikro 3. lisosom 4. peroksisom 2. Organel sel yang terlibat dalam pembentukan ATP adalah... 1. kloroplas 2. badan Golgi 3. mitokondria 4. retikulum endoplasma 3. Di bawah ini merupakan sifat fisika protoplasma adalah : 1. sifat cairan sel 2. Premeabilitasi membran 3. Transformasi zat 4. Tersusun oleh bahan anorganik dan organik 4. Unsur berikut yang tergolong dalam unsur makro dari protoplasma sel tumbuhan yaitu : 1. S,P, Ca, Cl 3. Na, Al, C, O 2. CO, Na, Cl, Fe 4. C, O, N, H 5. Sel hewan yang dimasukkan pada larutan yang hipertonis akan mengalami 1. mengalami haemolisis 2. turgor naik 3. nilai osmosis turun 4. mengalami krenasi 6. Organel sel yang berperan dalam pergerakan sel adalah . . .
1. mikrosom
2. mikrotubulus
3. mitokondria
4. mikrofilamen
7. Organel berikut ditemukan pada sel tumbuhan maupun sel hewan adalah . . .
1. plastida 2. retikulum endoplasma
3, dinding sel 4. ribosom 8. Struktur membran sel secara kimia terdiri dari . . .
1. glikolipida 2. fosfolipida
3. sterol 4. lipopretein
9. Fungsi membran sel antara lain . . .
1. sebagai penerima rangsang dari luar
2. pembatas antara isi sel dan lingkungan luar
3. tempat reaksi kimia tertentu
4. mengendalikan pertukaran zat
10. Gerakan zat melewati membran sel antara lain . . .
1. transpor pasif 2. difusi dan osmosis
3- transpor aktif 4. Endositosis & eksositosis
11. Molekul-molekul yang dengan mudah dapat melewati membran sel adalah . . .
1. H2O 2. CO2 3. O2 4. Glukosa
12. Yang berhubungan dengan tranpor aktif . . .
1. memerlukan energi
2. melawan perbedaan konsentrasi
18
3. gerakan zat satu arah
4. dipengaruhi oleh muatan listrik
13. Organel sel yang memiliki membran dua lapis adalah . . .
1. lisosom 2. kloroplas
3, peroksisom 4. nukleus . 14. Asam Deoksiribosa Nukleat (ADN) terdapat dalam organel berikut kecuali pada .
1. mitokondria 2. kloroplas
3. nukleus 4. kompleks golgi 15. Bagian sel berikut yang merupakan inklusio atau paraplasma adalah yang di bawah ini : 1. dinding sel 3. plastida 2. karbohidrat 4. alkoloid PILIHAN SEBAB AKIBAT 1. Protoplasma mudah berubah dari sel ke sel ke gel atau dari gel ke sel SEBAB Kadar air dalam protoplasma mempengaruhi kepekatan protoplasma 2. Sifat semipermeabel selaput sel berkemampuan untuk memilih zat-zat yang diperlukan SEBAB Semipermeabel selaput sel di dasari oleh strukturnya yang terdiri dari lipoprotein 3. Plasmolisis terjadi bila sel tumbuhan berada dalam larutan yang hipertonik dibandingkan dengan cairan sel SEBAB Plasmolisis merupakan peristiwa lepasnya protoplasma dari dinding sel 4. Apabila seorang siswa menetesi darah dengan larutan gula pada suatu gelas objek, kemudian mengamatinya dibawah mikroskop, siswa akan menemukan semua sel darah pecah SEBAB Larutan gula menyebabkan terjadinya haemolisis pada sel-sel darah yang diamati. 5. Semua sel berasal dari hasil pembelahan sel-sel sebelumnya SEBAB Sel merupakan satuan struktural dan fungsional dari kehidupan 6. Krenasi terjadi bila sel hewan berada dalam larutan yang hipertonik dibandingkan dengan cairan sel SEBAB Krenasi merupakan peristiwa lepasnya protoplasma dari dinding sel 7. Sel prokariotiak dapat dibedakan dari sel sel eukariotiak karena tidak memilki membran sel SEBAB Membran sel pada sel prokariotik teridri dari 2 lapis fosfolipid 8. Ciri khas sel tumbuhan adalah memilki plastida yang berperan penting dalam fotosintesis SEBAB Tumbuhan memilki zat hijau daun (klorofil) tempat berlangsungnya fotosintesis 9. Sel hewan dapat dibedakan dari sel tumbuhan dilihat dari adanya vakuola yang besar SEBAB Vakuola pada tumbuhan berperan menyimpan berbagai metabolit seperti minyak atsiri.
19
10. Organel yang berperan penting saat pergerakan dan aktivitas otot adalah mitokondria SEBAB Saat pergerakan sel diperlukan energi berupa ATP.
Essay
1. Sebutkan beberapa perbedaan penting antara sel prokariotik dan sel eukariotik!
2. Sebutkan beberapa perbedaan penting antara sel tumbuhan dan sel hewan!
3. Buatlah suatu bagan skematik yang menunjukan bagaimana suatu sel membentuk, mengemas dan mengeluarkan sekretnya ke lingkungan ekstraselulernya!
4. Mengapa sel-sel yang aktivitas sekretorisnya tinggi memiliki ukuran nukleolus yang relatif besar? Jelaskan!
5. Apakah yang akan terjadi jika sel yang hidup diambil intinya? Jelaskan!

Read More

MATRIKS LENGKAP

A. Pengertian Matriks
1. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
Matriks yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya : tabel matrikulasi di
sekolah, penyajian data pada suatu sekolah yang disajikan dalam bentuk matriks,
sebagaiberikut.
Contoh : tabel matrikulasi yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah
Tabel Jumlah Siswa
Kelas Laki-laki Wanita
Ι 240 180
ΙΙ 220 210
ΙΙΙ 205 205
Dari tabel di atas, bila diambil angka-angkanya saja dan ditulis dalam tanda siku,
bentuknya menjadi
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
205 205
220 210
240 180
. Bentuk sederhana inilah yang kita sebut sebagai
matriks.
Pengertian Matriks : Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam
baris dan kolom yang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku.
Matriks dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, C), dan sebagainya.
Contoh: A =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
25
30
26
15
13
14
Bilangan–bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom tersebut dinamakan elemen /
unsur. Elemen matriks A yang terletak di baris ke-2 dan kolom ke-1 dinotasikan sebagai
a12=13.
Contoh: Berapakah nilai a31 dan a32untuk matriks A di atas ?
Jawab: a31=15, a32=25
Matriks A di atas mempunyai 3 baris dan 2 kolom. Banyaknya baris dan banyaknya
kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut.
Ordo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam banyaknya baris kali
banyaknya kolom
Jadi matriks A berordo 3 x 2 dan ditulis A3x2
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
2. Jenis-jenis Matriks
Setelah memahami pengertian matriks dan ordo suatu matriks, siswa dapat
diperkenalkan dengan jenis-jenis matriks. Berdasarkan ordonya terdapat beberapa jenis
matriks, sebagai berikut :
a. Matrik bujursangkar/persegi yaitu matriks berordo n x n atau banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom disebut juga sebagai matriks kuadrat berordo n.
Contoh: Matriks B 2 2x = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
6 12
1 3
, maka 1 dan 12 dikatakan berada pada diagonal
utama matrik B.
b. Matriks baris yaitu matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu baris.
Contoh: Matriks C1x3 = [1 3 5]
c. Matriks kolom yaitu matriks berordo n x 1 atau hanya memiliki satu kolom
Contoh: Matriks E 1 2x = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
4
8
d. Matriks tegak yaitu matriks berordo m x n dengan m>n
Contoh: A =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
0 4
6 8
5 1
, A berordo 3 x 2 dan 3 > 2 sehingga matriks A tampak tegak
e. Matriks datar yaitu matriks berordo m x n dengan m<n
Contoh: F = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
3 1 1
2 0 4
, F berordo 2 x 3 dan 2 < 3 sehingga matriks F tampak
datar
Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis-jenis matriks :
a. Matriks nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah 0 dan dinotasikan
sebagai O.
Contoh: O 3 1x = [ ] 0 0 0 , O 2 x 2 = ⎥⎦ ⎤
⎢⎣
⎡
0 0
0 0
b. Matriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah
diagonalnya adalah 0 dan dinotasikan sebagai D.
Contoh: D3x3 =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 3
0 2 0
1 0 0
c. Matriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama.
Contoh: D4x4 =
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 0 5
0 0 5 0
0 5 0 0
5 0 0 0
d. Matriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya, selain elemen diagonal,
adalah simetri terhadap diagonal utama.
Contoh: 2 2x F = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1 4
3 1
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
e. Matriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen
diagonal, saling berlawanan.
Contoh: G3x3=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
− −
−
7 2 0
5 0 2
0 5 7
f. Matriks Identitas/satuan yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya
adalah 1 dan dinotasikan sebagai I.
Contoh: I 2 2x = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 1
1 0
g. Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal
utamanya adalah 0.
Contoh: G3x3=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 6
0 2 4
1 3 5
h. Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal
utamanya adalah 0.
Contoh: H3x3=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
4 9 6
6 2 0
1 0 0
i. Matriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris
menjadi elemen kolom dan elemen-elemen kolom menjadi elemen baris. Sebagai
pengingat adalah trans = perpindahan dan pose = letak. Transpose matriks A dilambangkan
dengan A T
Contoh: A3x2 =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
3
1
8
7
4
6
, maka AT = ⎥⎦ ⎤
⎢⎣
⎡
3
7
1
4
8
6
,
perhatikan bahwa ordo dari A T adalah 2 X 3
3. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama bila dan hanya bila mempunyai ordo yang
sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak juga sama.
Contoh: A 3 2x = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
4 6 8
2 3 4
, B 3 2x = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
4 6 8
2 3 4
maka A = B
Perhatikan bahwa C 3 x 2 = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
4 6 3
2 8 4
dan C2x3≠ A2x3 karena ada elemennya yang
seletak dan nilainya tidak sama.
Perhatikan juga bahwa D =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
8
6
4
4
3
2
dan D ≠ A karena ordo kedua matriks tersebut tidak
sama.
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 4
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
B. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya
Dalam menjelaskan operasi hitung pada matriks, kita dapat mengangkat peristiwa
sehari-hari atau memberi contoh, sebagai berikut:
1. Penjumlahan Matriks
Prinsip penjumlahan dua atau lebih matriks yaitu menjumlahkan setiap elemennya
yang seletak.
Pengertian penjumlahan matriks : Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu c ij = a ij + b ij untuk elemen
C pada baris ke-i dan kolom ke-j. Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila
kedua matriks memiliki ordo yang sama.
Contoh: A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 4
1 2
, B = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 8
5 6
maka A + B = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 4
1 2
+ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 8
5 6
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
10 12
6 8
= C
Perhatikan bahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan B
Sifat-sifat penjumlahan matriks :
a. A+B = B+A (hukum komutatif untuk penjumlahan)
b. A+(B+C) = (A+B)+C (hukum asosiatif untuk penjumlahan)
c. A+O = O+A
d. (A+B) T = A T + B T
2. Pengurangan Matriks
Operasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang sama seperti pada
operasi penjumlahan. Matriks A dikurangi matriks B dengan cara mengurangi elemen
matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.
Pengertian pengurangan matriks : Jika A−B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = a ij − bij atau
pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, yaitu A + (-B)
Syarat : Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut sama.
Contoh: A =
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0
9
4
7
6
5
, B =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
2
4
6
1
5
3
A−B =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0
9
4
7
6
5
−
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
2
4
6
1
5
3
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
6 2
1 5
2 2
A−B = A+(−B) =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0
9
4
7
6
5
+
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
− −
− −
− −
1 2
5 4
3 6
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
6 2
1 5
2 2
, atau
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 5
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Kaidah ilmu hitung yang berlaku pada pengurangan adalah :
a. A − A = O
b. A − O = A
3. Perkalian Matriks
Operasi perkalian pada matriks ada dua macam yaitu perkalian matriks dengan skalar
dan perkalian matriks dengan matriks. Sebelum memperkenalkan perkalian matriks dengan
matriks, siswa terlebih dahulu diperkenalkan perkalian matriks dengan bilangan/skalar.
a. Perkalian Matriks dengan skalar
Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka cA diperoleh dari hasilkali
setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks –A dapat dipandang sebagai hasil
kali matriks A dengan skalar (–1). Jadi –A = (–1)A.
Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar,
Contoh: P = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5 1
3 8
maka 4P= 4 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5 1
3 8
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
20 4
12 32
Jika p dan q bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian hingga dapat
dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
1) p (B+C) = pB + pC
2) p (B−C) = pB − pC
3) (p + q) C = pC + qC
4) (a – b) C = pC − qC
5) (pq) C = p (qC)
6) (pB) T= pBT
b. Perkalian matriks dengan matriks
Untuk memahami perkalian matriks dengan matriks, kita perhatikan pernyataan
berikut. Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama
dengan jumlah baris matriks B. Jadi Am×n × Bn× p bisa didefinisikan, tapi Bn× p × Am×n
tidak dapat didefinisikan.
A x B = AB
mxn nxp mxp
Perhatikan bahwa hasil kali matriks AB berordo m x p
Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga untuk menentukan
ordo hasil perkaliannya, dapat juga menggunakan aturan memasang kartu domino sebagai
berikut :
sama
1 x 2 2 x 3
1x3 (Hasil)
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 6
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks A dengan
setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi satu elemen. Untuk lebih
jelasnya, berikut ini diberikan contoh- contoh perkalian matriks dengan matriks.
Contoh Perkalian Matriks 1 x p dengan matriks p x 1 :
B = [6 8 7] dan C =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
2
7
4
,
B x C = [ ] [(6 4) (8 7) (7 2)]
2
7
4
6 8 7 = x + x + x
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
× = [94]
Contoh perkalian matriks px1 dengan matriks 1xp:
A=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
4
5
2
dan B=[6 8 7],
A x B = [ ]
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
× =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
4 6 4 8 4 7
5 6 5 8 5 7
2 6 2 8 2 7
6 8 7
4
5
2
x x x
x x x
x x x
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
24 32 28
30 40 35
12 16 14
Hasil kalinya merupakan suatu matriks berordo 3x3.
Contoh perkalian matriks mxn dengan matriks nxp:
A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 4
1 2
dan B = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 2 0
1 0 1
A x B = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
× ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 2 0
1 0 1
3 4
1 2
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ + +
+ + +
(3 1) (4 0) (3 0) (4 2) (3 1) (4 0)
(1 1) (2 0) (1 0) (2 2) (1 1) (2 0)
x x x x x x
x x x x x x
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 8 3
1 4 1
Untuk matriks A=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
4
5
2
dan matriks C =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
2
7
4
hasil perkalian A x C tidak dapat
didefinisikan.
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :
1) A(BC) = (AB)C
2) A(B+C) = AB + AC
3) (B+C)A = BA + CA
4) A(B−C) = AB−AC
5) (B−C)A = BA−CA
6) a(BC) = (aB)C = B(aC)
7) AI = IA = A
Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu dapat
didefinisikan, sehingga AB belum tentu sama dengan BA.
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 7
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
C. Determinan Matriks
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan.
Pengertian Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang
bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).
Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A
adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau −1. Untuk lebih
jelasnya, berikut ini diuraikan cara mencari determinan matriks berordo 2 x 2 dan matriks
berordo 3 x 3.
1. Determinan matriks berordo 2 x 2
Jika matriks A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
c d
a b
maka det (A) = A =
c d
a b
= ad − bc
Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
c d
a b
Contoh: P = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 4
8 4
, maka det(P) = P =
3 4
8 4
= (8x4) − (4x3) = 20
2. Determinan matriks berordo 3 X 3
Untuk mencari determinan matriks berordo 3 X 3 dapat digunakan dua metode, sebagai
berikut :
a. Metode Sarrus
Jika matriks B =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
v w x
s t u
p q r
maka det(B) = B =
v w x
s t u
p q r
= ptx + quv + rsw – rtv – qsx – puw
Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
v w x
s t u
p q r
v w
s t
p q
Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan
yang lebih tinggi lagi.
Contoh: Q =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
, maka det(Q) = Q adalah
7 8 9
1 3 5
2 4 6
det(Q) = =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
7 8
1 3
2 4
= (2x3x9) + (4x5x7) + (6x1x8) − (6x3x7) − (2x5x8) − (4x1x9) = 242 −242 = 0
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 8
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
b. Metode Kofaktor
Terlebih dahulu siswa dijelaskan tentang sub matriks atau minor dari suatu matriks.
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang
diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemenelemen
pada kolom ke-j.
Contoh: Q =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
, maka M11 =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
8 9
3 5
M12 =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 9
1 5
; M13=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 8
1 3
M11, M 12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q.
Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan
Kij = (−1) i+j Mij = (−1) i+ j det (Mij )
Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal
ekspansi baris ke-1
Contoh: Q =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
, untuk mendapatkan det(Q) dengan metode kofaktor adalah
mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris
ke-1 diatas, yaitu det(M11)= −13 , det(M12 )= −26 dan det(M13 ) = −13, maka :
Q = q11.k11 − q12 .k12 + q13 .k13
= q11.(−1)1+1 det(M11) − q12 (−1)1+2 det(M12 ) + q13 (−1)1+3 det(M13 )
= 2.13 − 4.26 + 6.13 = 0
Suatu matriks yang nilai determinannya = 0 disebut matriks singular.
3. Adjoin Matriks
Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan
dengan adj A = (k ij ) t
Contoh: Q =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 8 9
1 3 5
2 4 6
telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k11 = 13,
k12 = 26 dan k13 = 13 sekarang kita hanya mencari kofaktor dari ekspansi baris ke-2 dan
ekspansi baris ke-3, yaitu :
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 9
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
k 21= (−1) 2+1
8 9
4 6
= 12 ; k 22 =(−1) 2+2
7 9
2 6
= −24 ; k 23 = (−1) 2+3
7 8
2 4
= 12
k 31= (−1) 3+1
3 5
4 6
=2 ; k 32 = (−1) 3+2
1 5
2 6
= −4 ; k 33 = (−1) 3+3
1 3
2 4
= 2
Adj A =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
13 23 33
12 22 32
11 21 31
k k k
k k k
k k k
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
− −
13 12 2
26 24 4
13 12 2
Hal yang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo 2x2 ditunjukkan sebagai
berikut :
Jika A 2 x 2 = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
c d
a b
, maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = − c, k 21= − b dan
k 22 = a. Kemudian Adj A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
12 22
11 21
k k
k k
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
c a
d b
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan
mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya
D. Invers Matriks
Untuk menjelaskan invers matriks, perhatikan pengertian berikut:
Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang
dilambangkan dengan A−1.
Definisi:
Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas
maka B disebut invers dari A dan A invers dari B.
Karena invers matriks A dilambangkan dengan A−1 maka berlaku :
A x A−1= A−1x A = I, dimana I matriks identitas.
Contoh:
Diberikan matriks A= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 4
7 9
dan ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
3 7
4 9
B
Apakah B adalah invers matriks A ?
Jawab
Karena A x B = = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
× ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 1
1 0
3 7
4 9
3 4
7 9
I dan
B x A = = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
× ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
0 1
1 0
3 4
7 9
3 7
4 9
I
Maka B adalah invers A ditulis ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
− = =
3 7
1 4 9 A B
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 10
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
; syarat det(A) ≠ 0
; syarat det(A) ≠ 0
Cara mencari invers matriks berordo 2 x 2 dan invers matriks berordo 3 x 3 dipaparkan
berikut ini.
1. Invers matriks berordo 2x2
Jika A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
c d
a b
, maka A−1=
det( )
1
A
.Adj (A)
A 1 − = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
c a
d b
det(A)
1
Contoh: A= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3 2
5 3
, tentukan A−1 !
Jawab: det(A) = (5 x 2) − (3 x 3) = 1
A−1=
1
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
3 5
2 3
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
3 5
2 3
2. Invers matriks berordo 3x3
Jika B3x3 , maka B−1=
det( )
1
B
.Adj(B)
Contoh : B =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 6
0 4 5
1 2 3
,tentukan invers dari matriks segitiga tersebut!
Jawab : Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode
kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka
det(Q) = Q = b 31 .k31 − b 32 .k 32 + b 33 .k 33 =
0 4
1 2
0 − 0 + 6(−1)3+3
= 24
Adj B =
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
+ − +
− + −
+ − +
0 4
1 2
0 0
1 2
0 0
0 4
0 5
1 3
0 6
1 3
0 6
0 5
4 5
2 3
0 6
2 3
0 6
4 5
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
− −
0 0 4
0 6 5
24 12 2
B−1=
24
1
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
− −
0 0 4
0 6 5
24 12 2
=
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
− −
6
0 0 1
24
5
4
0 1
12
1
2
1 1
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 11
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Sifat-sifat invers matriks :
1. (AB) −1 = B−1 A−1
2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers karena
A = B−1 dan B = A−1
Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0 maka matriks A
tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks
singular. Bila det(A)≠0, maka matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi
yang mempunyai invers disebut matriks non singular.
Contoh Soal Aplikasi Matriks
a. Hasil matriks perkalian berikut adalah:
A = [2 4 1] dan B =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
15 0 12 16
20 30 11 24
0 25 10 0
A x B = [2 4 1]
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
5 0 2 6
2 3 1 4
0 5 1 0
= [13 22 8 22]
b.Hasil perkalian matrik berikut adalah:
P =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
15 0 12 16
20 30 11 24
0 25 10 0
dan Q =
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎡
1
2
1
3
P x Q =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
15 0 12 16
20 30 11 24
0 25 10 0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
1
2
1
3
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
85
136
45
c. Dewi dan teman-temannya memesan 3 mangkok bakso dan 2 gelas es jeruk di kantin
sekolahnya. Tak lama kemudian, datang Doni dan teman-temannya memesan 5 mangkok
bakso dan 3 gelas es jeruk. Dewi menantang Amir, seorang siswa SMK non Teknik,
untuk menentukan harga bakso per mangkok dan harga es jeruk per gelas jika Dewi harus
membayar Rp. 7000,00 untuk semua pesanannya, dan Doni harus membayar Rp.
11.500,00 untuk semua pesanannya itu. Maka berapakah harga bakso per mangkok dan es
jeruk per gelasnya?
Petunjuk : Buatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan matriks.
Jawab:
Misalkan x = harga bakso per mangkok
y = harga es jeruk per gelas
Sistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 7000
5x + 3y = 11500
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 12
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5 3
3 2
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
y
x
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
11500
7000
atau A ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
y
x
= B, maka ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
y
x
= A−1B
A−1=
(3.3 5.2)
1
− ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
5 3
3 2
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
5 3
3 2
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
y
x
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
5 3
3 2
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
11500
7000
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
− +
(35000 34500)
( 21000 23000)
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
500
2000
Harga bakso Rp. 2000,00 per mangkok dan harga es jeruk Rp. 500,00 per gelas.
Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas bukanlah satu-satunya cara.
Siswa hendaknya diperbolehkan mencari penyelesaian lain selama penyelesaian dibuat dengan
logis dan mengikuti kaidah aljabar matriks serta memperoleh hasil sama. Untuk tahap
selanjutnya kepada siswa dapat diajarkan tentang persamaan dan pertidaksamaan, baik yang
linear atau kuadrat, juga relasi dan fungsi.
Lembar Kerja
1. Jika A =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
6 3 0 8 0
4 7 0 9 0
2 1 8 6 0
, tentukan ordo matriks A dan a 23 !
2. Sebutkan jenis matriks berikut ini :
a.
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
7 5 1
3 1 0
0 0 0
b.
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 9 7 4
8 6 3 7
5 2 6 9
1 5 8 0
c.
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
1 0 1
0 1 1
1 1 0
3. Jika A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1 7 5
3 0 3
, B= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 − 4 3
2 1 2
dan A + B = C T , tentukanlah matriks C !
4.Hitunglah perkalian matriks berikut :
a.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− −
× ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 3
2 1
3 4
1 2
b. ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
× ⎥⎦
⎤
⎢⎣ ⎡
− 2
6
2 3
1 2
c. [ ] ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
− ×
2
6
3 4
d.
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
×
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
0 3
4 2
1 3
4 0 2
0 2 3
3 1 1
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 13
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
5. Jika A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
9 6
8 2
dan B = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−12 14
3 4
, maka :
a. Tentukan A−1
b. Tentukan B−1
c. Tentukan A x B
d. Tentukan (A x B) – 1
6. Jika P =
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 4
3 0
0 2
1 0
dan Q = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 8 9
2 1 1
a. Tentukanlah PQ b. Tentukan P Q
2
× 1
7. Untuk sembarang nilai a carilah nilai x yang memenuhi bila diketahui det(A)=0 untuk
matriks :
a. A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
a 2
x a
b. A = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
a x
a 4
8. Jika P = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5 3
4 1
dan Q = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2 2
3 1
, hitunglah :
a. Det(P) b. Det(Q) c. Det(PQ)
Apa kesimpulan anda setelah melakukan perhitungan di atas ?
9. Jika P3x3 =
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
5 6 7
4 3 2
1 0 0
carilah det(P) dengan menggunakan :
a. Metode Sarrus b. Metode Kofaktor
10.Tentukan matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan :
a.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
6 0
2 4
4 3
2 1
X
b.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
7 8
4 6
1 4
2 3
X
c.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1 0
6 5
3 1
5 2
X
d.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 6
2 4
8 3
2 1
X
11. Tentukan HP sistem persamaan linear dengan cara matriks
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ = −
2 0
3 4 11
x y
x y
12. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan berikut :
a.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
3 5
1 5
5
3 1
x y
x
y
x
b.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ 5 6
3 7
2 2
1 2
5 1
2 5
y
x
== oOo ==
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 14
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Trik Menghitung 2 Bilangan Belasan
Menghitung perkalian dua angka belasan dapat dilakukan dengan cara
konvensional juga dapat dilakukan dengan trik perkalian khusus. Tulisan ini akan
membahas bagaimana melakukan perkalian mudah dengan contoh kita akan
mencoba perkalian 12×13. Langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Hasil akhir perkalian diasumsikan 100 lebih, jadi asumsikan hasil akhir diawali
angka 1.
2. Tambahkan angka satuan dari dua bilangan tersebut yaitu 2+3 nilainya adalah 5.
Sekarang kita memperoleh hasil sementara 15_ (1 dari langkah 1, dan 5 dari
langkah 2) atau 150 lebih.
3. Sekarang lakukan perkalian angka satuan dari dua bilangan, yaitu 2×3 sehingga
nilainya 6.
4. Tambahkan nilai hasil dari langkah 3 dan , yaitu 150+6 sehingga ditemukan nilai
akhir.
Untuk angka yang lebih besar, dengan hasil penambahan dan perkalian
angka satuan (langkah 2 dan 3) maka angka puluhan ditambahkan dengan ke digit
depannya. Misalnya perkalian angka 18×14. Hasil penambahan 8+4 adalah 12.
Angka puluhan harus ditambahkan ke digit depannya (yaitu angka 1, lihat langkah 1)
sehingga menjadi 22. Hal yang sama dilakukan untuk langkah perkalian 8×4=32.
Semoga Bermanfaat.

Read More