Soal Latihan dan Pembahasan Matriks

Soal Latihan dan Pembahasan
Matriks
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、tanpa ada tujuan komersial
1 Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
Matriks
1. Jika úû
ù
êë
é
=
2 3
1 0
A dan I matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I = .......
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
- + =
4 4
0 0
0 1
1 0
2 3
1 0
2
2 3
1 0
2 3
1 0
A2 2A I
2. Diketahui matriks úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
4 3
1 2
A dan I . Tentukan nilai x supaya matriks A – xI
merupakan matriks singular !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
- =
x
x
x
x
A xI
4 3
1 2
0
0
4 3
1 2
Matriks singular syaratnya determinannya = 0 sehingga :
0 (1 )(3 ) 8 0 1 5
4 3
1 2
= Û - - - = Û = - =
-
-
x x x atau x
x
x
3. Tentukan invers matriks úû
ù
êë
é
-
-
=
2 4
2 3
A
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
- - -
- =
1 1
2
2 2
4 3
2.4 ( 2)( 3)
1 2
3
A 1
4. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
1 1
5 4
1 3
2 5
A dan B maka tentukan determinan (AB)- 1 !
Jawab :
1
1.1
( ) 1 1 1
5 4 1
1 1
5 4
6 5 1
1 3
2 5
1 = = = =
= - = Þ úû
ù
êë
é
=
= - = Þ úû
ù
êë
é
=
-
AB A B
AB
B B
A A
5. Tentukan matriks P jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
4 3
2 1
1 2
3 4
P
Jawab :
1
úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
-
-
-
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
=
-
5 4
6 5
4 3
2 1
1 3
2 4
6 4
1
4 3
2 1
1 2
3 4 1
P
6. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
-
=
0 2
1 1
0 1
2 1
A dan B . Tentukan nilai A – 2B !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é -
- úû
ù
êë
é
-
- =
0 5
4 1
0 4
2 2
0 1
2 1
A 2B
7. Diketahui
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
=
3 6
2 4
1 5
4 0 4
2 3 1
A dan B . Tentukan –2AB
Jawab :
úû
ù
êë
é
- -
-
=
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
-
-
úû
ù
êë
é
-
- -
- =
16 88
22 32
3 6
2 4
1 5
8 0 8
4 6 2
2AB
8. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
4 2
5 1
2 3
4 3
,
3 2
2 1
A B dan C . Tentukan AB - C
Jawab :
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
- =
12 13
5 8
4 2
5 1
2 3
4 3
3 2
2 1
AB C
9. Diketahui .
2 3
1 2
1
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
+
=
y
x
dan B
y x y
x y x
A Jika At menyatakan matriks
tranpose dari A maka tentukan x jika At = B
Jawab :
2
3
1
2 3
1 2
1
Þ =
þ ý ü
- =
+ =
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
+
= Þ
x
x y
x y
y
x
x x y
x y y
At B
10. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
b c a ab
a
2 2
5 2 3
2
5 3
. Tentukan a + b + c !
Jawab :
2
14
2 2 4 8
+ + =
= Þ = = Þ = =
a b c
a b a c ab
11. Diketahui .
7
2 3 2 1
2 3
4
úû
ù
êë
é
+
- +
= úû
ù
êë
é
=
a b
c b a
dan B
b c
a
A Jika A = 2Bt maka tentukan c !
Jawab :
3 2.5 14 8
2 4.2 2 5
2 4 2
4 2 2 14
4 6 2
2 3
4
2 1 7
2 3
2
2 3
4
2
= + Û =
= + Û =
= Û =
úû
ù
êë
é
+ +
-
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
+ +
-
= úû
ù
êë
é
= Þ
c c
b b
a a
a b
c b a
b c
a
a b
c b a
b c
a
A Bt
12. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é -
+ úû
ù
êë
é
-
-
4 10
4
4
1 3
2
4
2 y
y x
x
. Tentukan x !
Jawab :
4
2 10
2
4 10
4
4 2
2 4
Þ =
þ ý ü
+ =
- =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
-
x
x y
x y
y
y x
x
13. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
2
1
4
3
2
1
log 2
1 log
log log z
y
x y z
. Tentukan x !
Jawab :
log log log 3 log4 3
log 3
log 2 4
4 4
2
3 1
2
= Þ = Û =
= Û =
= Û =
y z x
y y
z z
x x
14. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë é
-
=
x
dan C
y
B
y
x
A
5 2
8 3
2 4
2
,
3
2 5
. Tentukan nilai x + y yang
memenuhi A+ B = C
Jawab :
3
5
3 2
4 2
2 8
5 2
8 3
5 4
2 3
+ =
Þ = =
þ ý ü
+ =
+ =
úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
+
+ -
+ = Þ
x y
x dan y
y x
x y
y x
x y
A B C
15. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é +
=
1 1
1 0 1 0
,
1
dan C
c d
a
B
b c
a b
A . Jika A + Bt = C2 maka
tentukan d !
Jawab :
1 1 3 2
0 1 2 3
1 2
2 1
1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
0
1 1
2
+ = Þ = - = -
+ - = Þ = + =
= =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
+ -
úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é - -
+ úû
ù
êë
é +
+ =
c d d
a b c c
a dan b
b c d
a a b c
d
a c
b c
a b
A Bt C
16. Diketahui úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é - -
=
14 8
2 24
3 4
1 8
,
4
4 2
B dan C
p
A . Jika AB = C maka
tentukan p !
Jawab :
3 4 14 6
14 8
2 24
3 4 32 4
2 24
14 8
2 24
3 4
1 8
4
4 2
- = Û =
úû ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
- -
- -
úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é
-
-
úû
ù
êë
é - -
= Þ
p p
p p
p
AB C
17. Diketahui úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
+ úû
ù
êë
é
-
-
1
2 1
4 3
2 1
3
4 5
3
1
c a
c
b b
d
. Tentukan a !
Jawab :
3 3 1 3 2 3 1 2
3 5 5.1 3 2
3 3 1
5 3 1
3 1
3 3
3 5
+ = - Þ + = - Û =
- - = - Þ = - =
= Û =
úû
ù
êë
é
- -
- +
= úû
ù
êë é
- - +
-
b a a a
b c b
c c
c a
c a
b b
d
4
18. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
2 3
1 4
A dan I memenuhi persamaan A2 = pA + qI maka p – q = …..
Jawab :
4 5 1
9 5
8 2 4
2 3
4
8 17
9 16
0
0
2 3
4
2 3
1 4
2 3
1 4 2
- = - = -
= + Þ =
= Û =
úû
ù
êë
é
+
+
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
+ úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
= + Þ
p q
p q q
p p
p p q
p q p
q
q
p p
p p
A pA qI
19. Jika a , b dan g sudut-sudut segitiga ABC dan
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é -
úû
ù
êë
é
1 0
sin cos
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos 2
g 1 g
b b
b b
b b
a a
maka tentukan g !
Jawab :
( ) ( )
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é + +
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
+
+ -
1 0
sin cos
1 0
sin cos
1 0
sin cos
cos sin 0
sin cos cos sin cos cos sin sin
2
1
2
1
2 2
a b a b g g
g g
b b
a b a b a b a b
( )
( )



cos 1 360
120
2
cos 1
(2cos 1)(cos 1) 0
(2cos 1) cos
cos cos
cos 180 cos
cos cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
2
1
2
1
2
1
= - Þ =
= Þ =
- + =
- - =
- =
- =
+ =
g g
g g
g g
g g
g g
g g
a b g
20. Hasil kali matriks (BA)(B + A- 1)B- 1 = .........
Jawab :
BA I A B BA BAA B BA I
BA B A B BA BB A B
= + = + = +
+ = +
- - - -
- - - - -
1 1 1 1
1 1 1 1 1
)( 0
( )( ) ( )( )
21. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
2 2
2 2
2 -
- -
=
x
x x
Jawab :
5
x2 - 2x = 4 + 4 Û (x - 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 atau x = - 2
22. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
=
2 9
1
5 6
1 2
,
3 4
2 1 a
A B dan C . Jika determinan 2A – B + 3C
adalah 10, maka tentukan nilai a !
Jawab :
(3 5).11 21 10 2
10
7 11
3 5 3
2 3
+ + = Û = -
=
+ -
- + =
a a
a
A B C
23. Diketahui úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é +
=
7 4
9
5 3
5 x
dan B
x
x x
A . Jika A = B maka tentukan x !
Jawab :
4 3
(5 )(3 ) 5 36 7 ( 4)( 3) 0
= - =
+ - = + Û + - =
x atau x
x x x x x x
24. Tentukan nilai determinan matriks
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
- -
-
3 4 0
2 0 4
0 2 3
Jawab :
0 24 24 0 0 0 0
3 4
2 0
0 2
3 4 0
2 0 4
0 2 3
= - + - - - =
- -
-
- -
-
25. Diketahui matriks úû ù
êë
é
=
3 4
1 2
A . Jika úû
ù
êë
é
=
0 1
1 0
AB maka tentukan matriks B !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
-
= Þ = - =
2
1
2 3
1 2 1
3 1
4 2
4 6
AB I B A 1
26. Jika matriks úû
ù
êë
é
-
+
=
6 1 5
2 1 3
x
x
A tidak mempunyai invers, maka tentukan x !
6
Jawab :
Syarat matriks tidak mempunyai invers jika A = 0 sehingga :
(2x+1).5-3(6x-1)=0 Û x = 1
27. Jika 1 - = úû
ù
êë
é
= dan A A
c d
a b
A t maka ad – bc = …….
Jawab :
1
0
( )(( ) 1) 0
( ) ( )
1
2
2 2
1
- = ±
- =
- - - =
-
-
-
- =
úû
ù
êë
é
-
-
-
= úû
ù
êë
é
= - Þ
ad bc
ad bc tidak memenuhi
ad bc ad bc
ad bc
bc
ad bc
ad bc ad
c a
d b
b d ad bc
a c
At A
28. Jika 1 25
6
7 - = úû
ù
êë
é
A = dan A A
k
maka tentukan k !
Jawab :
3
35 3 1 34
(35 3 )
35 3
35 3 1
6 7
5
35 3
1
6 5
7 1 2 2
- = Û =
-
-
- =
-
-
-
= - Þ =
k k
k
k
k
k
A A
k k
29. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
-
-
=
2 8
4 2
7
2
7 1
7 1
7
4
C dan B . Jika A = C- 1 maka tentukan AtB
Jawab :
340 144 196
12 34
10 12
12 34
10 12
2 8
4 2
1 4
2 1
1 4
2 1
1 4
1 2 1
7
4
7 1
7 1 7
2
49
1
49
8
1
= = - =
úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë é =
úû
ù
êë
é
=
úû
ù
êë
é
= úû ù
êë
é
-
= - =
A B
A B
A
A C
t
t
t
7
30. Tentukan invers dari
ú úû
ù
ê êë
é
- +
-
- +
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
a b a b
a b a b
Jawab :
úû
ù
êë
é
+ +
- - +
=
ú úû
ù
ê êë
é
= -
ú úû
ù
ê êë
é
+
=
- -
+
-
+
- -
+
-
+
- -
-
a b a b
a b a b
A a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b 2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2 2
2( )
1
2( )
1
2( )
1
2( )
1
4( )
1
4( )
1
1 1 2( )
2 2 2 2
31. Jika ( ) .......
3 0
1 2 3 1 = úû
ù
êë
é
A = maka A-
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
- úû
ù
êë
é
-
=
úû
ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é
-
=
-
-
8 1
8
21
2
1
2 3
4
1
4
9
2
1
2 3
2
1
2 3
2
1
2 3
1 3
2
1
2 3
2
1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
( )
1 0
3 1
2 0
A
A
32. Jika invers dari matriks A adalah úû
ù
êë
é
3 1
4 2
maka tentukan matriks A !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
-
= - - =
2
1
3 4
1 2
4 6
( ) 1
2 3
2
1
A A 1 1
33. Jika úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é
-
-
24
13
4 6
1 5
y
x
maka tentukan x dan y !
Jawab :
úû ù
êë
é
-
= úû
ù
êë
é -
úû
ù
êë
é
- -
- -
-
= úû
ù
êë
é
2
3
24
13
4 1
6 5
6 20
1
y
x
34. Jika úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é
4 5
2 3
8 9
6 7
P. maka tentukan matriks P !
Jawab :
úû
ù
êë
é
-
-
= úû
ù
êë
é
-
-
- = úû
ù
êë
é
-
-
- úû
ù
êë
é
=
2 1
3 2
4 2
6 4
2
1
8 6
9 7
54 56
1
4 5
2 3
P
35. Diketahui úû
ù
êë
é
= úû
ù
êë
é - -
= úû
ù
êë
é -
=
c d
a b
A B dan X
11 14
7 3
,
2 3
1 1
. Jika AX = B maka tentukan d !
Jawab :
4
5 4
2 1
11 14
7 3
2 1
3 1
3 2
1
1
= Þ úû
ù
êë
é -
= úû
ù
êë
é - -
úû
ù
êë
é
+ -
= úû
ù
êë
é
= Þ = -
d
c d
a b
AX B X A B
8